[理學]第3節(jié)高階微分方程(編輯修改稿)
2025-01-04 01:04 本頁面
【文章內容簡介】 ?? ??121 ??? ??特征根為 ttCCs ??? e)( 21,4)0( 1 ?? Cs ,e)( 212 ttCCCs ?????,2)0( 12 ?????? CCs19 對應齊次方程 2. 二階常系數 非齊次 線性方程解的性質及求解法 (1) )( xfbyyay ??????0?????? byyay(2) (1)的任意一個解加上方程 (2)的任意一個解 是 (1)的解； (1)的任意兩個解之差是 (2)的解 . .yyy c ??定理 4 設 )( xy 是方程 (1 ) 的一個特解 , )( xy c 是 ( 2 ) 的通解 , 那么方程 (1)的通解為 20 對應齊次方程 2. 二階常系數 非齊次 線性方程解的性質及求解法 (1) )( xfbyyay ??????0?????? byyay(2) .yyy c ??定理 4 設 )( xy 是方程 (1 ) 的一個特解 , )( xy c 是 ( 2 ) 的通解 , 那么方程 (1)的通解為 問題歸結為求方程 (1)的一個特解 . 只討論 f (x) 的兩種類型 . 用 待定系數法 求解 . 21 其中 r 是 一個 實 數 , )( xP m 是 m 次多項式 . 設 xrxQy e)(? , 其中 )( xQ 是多項式 , 代入方程 )( xfbyyay ?????? , 整理并約去 xre , 得 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m????????? (*) 型)(e)(.1 xPxf mxr?則 xrxr xQrxQy e)(e)()( ????xrxrxr xQrxQrxQy e)(e)(2e)()( 2????????22 即 02 ??? barr , 則可設 )( xQ 為次數與 )( xP m 次數相同的多項式 : )()()2( 2 xPQbarrQarQ m????????? (*) 情形 1 若 r 不是特征根 , ,)()( xQxQ m? xrm xQy e)(?即 情形 2 而 02 ?? ar , 若 r 是特征方程的單根 , 即 02 ??? barr , ,)()( xQxxQ m?則令 即 xrm xxQy e)(?23 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m????????? (*) 情形 3 若 r 是特征方程的 二重 根 , 即 02 ??? barr , ,)()( 2 xQxxQ m?則令 即 且 02 ?? ar , xrm xQxy e)(2?24 綜上討論 ?)( xQ不是特征根?)(e xPbyyay mxr??????設特解為 ，)( xQ m是單特征根?，)( xxQ m是二重特征根?，xrxQy e)(?其中 ，)(2 xQx m)()()2( 2 xPQbarrQarQ m????????? (*) 然后將 y 代入原方程，或根據恒等式 (*) 來確定 )( xQ ,從而得到特解 y . ，若 )()( xPxf m? 可看成是 0?r 的特殊情形 . 25 解 對應齊次方程通解 特征方程 0322 ??? ??特征根 1321 ??? ?? ，,ee 231 xxc CCy ???求微分方程 1332 ??????? xyyy 的通解 . 因為 0?r 不是特征根 , 故設特解 BAxy ?? , ? 31,1 ??? BA , 所以特解 xy ?? 31 , 即原方程的通解為 31ee 321 ???? ? xCCy xx . 例 8 代入原方程 ,得 13)(32 ????? xBAxA26 .e23 2 的通解求方程 xxyyy ??????解 對應齊次方程通解 特征方程 ,0232 ??? ??特征根 ， 2121 ?? ??.ee 221 xxc CCy ??是單根，2???代入方程， xBAxA ??? 22， 121 ???? BA，于是 xxxy 2e)121( ??原方程通解為 .e)121(ee 2221 xxx xxCCy ????例 9 xBAxxy 2e)( ??所以設得 ,e)( 22 xBxAxx ??27 解 對應齊次方程通解 特征方程 ,0962 ??? ?? 特征根 ，32,1 ??.e)( 3
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