【文章內(nèi)容簡介】 dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 全微分方程的通解: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 且 du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy則 u(x, y)=C, 即 . 是方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的通解 例1 求解(5x4+3xy2y3)dx+(3x2y3xy2+y2 )dy=0. 解 這里 , 所以這是全微分方程. 取(x0, y0)=(0, 0), 有 . 于是, 方程的通解為 . 積分因子: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程, 但存在一函數(shù) m=m(x, y) (m(x, y)185。0), 使方程 m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0是全微分方程, 則函數(shù)m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的積分因子. 例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydxxdy=0。 (2)(1+xy)ydx+(1xy)xdy=0. 解 (1)方程ydxxdy=0不是全微分方程. 因為 , 所以是方程ydxxdy=0的積分因子, 于是是全微分方程, 所給方程的通解為. (2)方程(1+xy)ydx+(1xy)xdy=0不是全微分方程. 將方程的各項重新合并, 得 (ydx+xdy)+xy(ydxxdy)=0, 再把它改寫成 , 這時容易看出為積分因子, 乘以該積分因子后, 方程就變?yōu)? , 積分得通解 , 即. 我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y162。+P(x)y=Q(x). 可以驗證是一階線性方程y162。+P(x)y=Q(x)的一個積分因子. 在一階線性方程的兩邊乘以得 , 即 , 亦即 . 兩邊積分, 便得通解 , 或 . 例3用積分因子求的通解. 解 方程的積分因子為 . 方程兩邊乘以得 , 即, 于是 . 因此原方程的通解為. 167。12. 6 可降階的高階微分方程 一、y(n)=f (x)型的微分方程 解法: 積分n 次 , , . 例1 求微分方程y162。162。162。=e2xcos x 的通解. 解 對所給方程接連積分三次, 得 , , , 這就是所給方程的通解. 或 , , , 這就是所給方程的通解. 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動. 設(shè)力F僅是時間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時刻t=0時F(0)=F0, 隨著時間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時, F(T)=0. 如果開始時質(zhì)點位于原點, 且初速度為零, 求這質(zhì)點的運動規(guī)律. 解 設(shè)x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為 . 由題設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時, F(0)=F0, 所以F(t)=F0kt。 又當(dāng)t=T時, F(T)=0, 從而 . 于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 , 其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得 . 再積分一次, 得 . 由初始條件x|t=0=0, , 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 , 0163。t163。T. 二、y162。162。= f(x, y162。)型的微分方程 解法: 設(shè)y162。=p則方程化為 p162。=f(x, p). 設(shè)p162。=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則 . 原方程的通解為 . 例3 求微分方程 (1+x2)y162。162。=2xy162。滿足初始條件 y|x=0=1, y162。|x=0=3的特解. 解 所給方程是y162。162。=f(x, y162。)型的. 設(shè)y162。=p, 代入方程并分離變量后, 有 . 兩邊積分, 得 ln|p|=ln(1+x2)+C, 即 p=y162。=C1(1+x2) (C1=177。eC). 由條件y162。|x=0=3, 得C1=3, 所以 y162。=3(1+x2). 兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2. 又由條件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解為 y=x3+3x+1. 三、y162。162。=f(y, y162。)型的微分方程 解法: 設(shè)y162。=p,有 . 原方程化為 . 設(shè)方程的通解為y162。=p=j(y, C1), 則原方程的通解為 . 例4 求微分yy162。162。y162。2=0的通解. 解 設(shè)y162。=p, 則, 代入方程, 得 . 在y185。0、p185。0時, 約去p并分離變量, 得 . 兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc, 即 p=Cy或y162。=Cy(C=177。c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為 ln|y|=Cx+lnc1, 或 y=C1eCx (C1=177。c1). 例5 一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落到地面時的速度和所需的時間（不計空氣阻力）. 167。12. 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1 設(shè)有一個彈簧, 上端固定, 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點. 給物體一個初始速度v0185。0后, 物體在平衡位置附近作上下振動. 在振動過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t). 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復(fù)力f=cx. 又設(shè)物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則 , 由牛頓第二定律得 . 移項, 并記, , 則上式化為 , 這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動的微分方程. 如果振動物體還受到鉛直擾力 F=Hsin pt的作用, 則有 , 其中. 這就是強迫振動的微分方程. 例2 設(shè)有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路, 其中R、L、及C為常數(shù), 電源電動勢是時間t的函數(shù): E=Emsinwt, 這里Em及w也是常數(shù). 設(shè)電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動勢為EL . 由電學(xué)知道 , , , 根據(jù)回路電壓定律, 得 , 即 , 或?qū)懗? , 其中, . 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0), 則上述成為 . 二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為 y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x), 若方程右端f(x)186。0時, 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的. 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0, 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0. 的兩個解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解, 其中CC2是任意常數(shù). 齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理. 證明 [C1y1+C2y2]162。=C1 y1162。+C2 y2162。, [C1y1+C2y2]162。162。=C1 y1162。162。+C2 y2162。162。. 因為y1與y2是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0, 所以有 y1162。162。+P(x)y1162。+Q(x)y1=0及y2162。162。+P(x)y2162。+Q(x)y2=0, 從而 [C1y1+C2y2]162。162。+P(x)[ C1y1+C2y2]162。+Q(x)[ C1y1+C2y2] =C1[y1162。162。+P(x)y1162。+Q(x)y1]+C2[y2162。162。+P(x)y2162。+Q(x)y2]=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān): 設(shè)y1(x), y2(x), , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù). 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1, k2, , kn, 使得當(dāng)x206。I 時有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)186。0成立, 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)。 否則稱為線性無關(guān). 判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法: 對于兩個函數(shù), 它們線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān). 例如, 1, cos2x , sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0 的兩個線性無關(guān)的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (CC2是任意常數(shù))是方程的通解. 例3 驗證y1=cos x與y2=sin x是方程y162。162。+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為 y1162。162。+y1=cos x+cos x=0, y2162。162。+y2=sin x+sin x=0, 所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因為對于任意兩個常數(shù)kk2, 要使 k1cos x+k2sin x186。0, 只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(165。, +165。)內(nèi)是線