常微分方程第三章(編輯修改稿)
2025-07-26 11:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 顯然，在區(qū)間上是連續(xù)可微的，且由推出 這表明函數(shù)當(dāng)時(shí)是連續(xù)的，且將位于矩形域上，我們稱它為一次近似.再利用，作出二次近似 ，同樣地有 ，可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也是連續(xù)的，且它也完全位于矩形域上.一般地，規(guī)定了次近似以后，就可以利用式得出次近似： 這樣，，都位于矩形域上.（三） 下面證明按上述方法構(gòu)造的函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂.要證在區(qū)間上一致收斂，只須證明級數(shù) 一致收斂，因?yàn)槭谴思墧?shù)的前項(xiàng)之和.現(xiàn)在我們對級數(shù)的各項(xiàng)作估計(jì)，為此證明估計(jì)式 在上成立.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由可知成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，注意到對滿足李普希茨條件及式，便可推出 ，所以當(dāng)當(dāng)時(shí)成立，故得證.由于，從而 .由此可見，級數(shù)的每一項(xiàng)的絕對值都不大于收斂正項(xiàng)級數(shù) 的對應(yīng)項(xiàng)，（四） 證明的極限函數(shù)是積分方程的解.現(xiàn)對式 兩端取極限，當(dāng)時(shí)，注意到收斂的一致性和的一致連續(xù)性，就得到這表明是積分方程的連續(xù)解，從而也是始值問題，的解，故存在性獲證.（五）證明解的唯一性.設(shè)積分方程還有另一個(gè)解，則由推出
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