高階微分方程的解法及應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-07-29 15:28本頁面
【正文】 程 17 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 19第四章 高階微分方程的應(yīng)用 21參考文獻(xiàn) 25致 謝 26 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘 要本文首先介紹了高階微分方程的一些理論與結(jié)構(gòu)。其次又介紹了幾類可降階的微分方程的解法，主要有形如，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問題。關(guān)鍵詞：高階常微分方程；常數(shù)變易法；特征根法；降階法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce higherorder homogeneous linear differential equation methods and highorder nonhomogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method。 constant variation。 reduction method
前 言常微分方程作為數(shù)學(xué)系重要專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)習(xí)好其他的科目起到了至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。常系數(shù)線性微分方程的解法，高階微分方程的降階問題又是高階微分方程的重中之重。目前，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。人們對(duì)于二階以及簡單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒有固定的解法，例如，高階常系數(shù)線性齊次微分方程，我們可以運(yùn)用特征根的方法進(jìn)行求解，高階常系數(shù)線性非齊次微分方程，我們可以運(yùn)用常數(shù)變易法，比較系數(shù)法，拉普拉斯變換法進(jìn)行求解。本篇論文我總結(jié)了形如，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問題，進(jìn)而介紹此類問題在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。n階隱式方程的一般形式為n階顯式方程的一般形式為定義2（解） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有直到階的導(dǎo)數(shù)。微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到和方程的階數(shù)相等，當(dāng)然也可以不包括任意常數(shù)。如果方程的解不包含任意常數(shù)，則把它叫做特解。在這里，我們通常假設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果方程的右端項(xiàng)，即則稱方程（11）是齊次的，否則為非齊次的。定理2 設(shè)是方程的解，則也是方程的解。定理4 設(shè)是非齊次線性方程（11）的任意一個(gè)確定的解，是（11）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（12）的通解。 第二章 高階常系數(shù)線性微分方程 高階常系數(shù)線性齊次微分方程對(duì)于n階常系數(shù)線性齊次方程 （21）其中是關(guān)于的未知函數(shù)，系數(shù)是實(shí)常數(shù)。式子（22）是關(guān)于的n次代數(shù)方程，則把他叫做微分方程（21）的特征方程，它的根就稱做特征根。 特征根是單根的情況定義 我們把稱為方程的特征方程，它的根叫做特征根。定理 如果特征方程有個(gè)互異的根，則是方程的一個(gè)基本解組。即此時(shí)在相異特征根中有復(fù)數(shù)。這兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的解是實(shí)變量復(fù)值函數(shù)例1 求方程的通解。 特征根是重根的情況定理 假設(shè)方程有互異的特征根，他們的重?cái)?shù)分別是，并且，則與他們相對(duì)應(yīng)的的特解是，并且該特解構(gòu)成在區(qū)間上的基本解組。在上一節(jié)中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法?？梢栽O(shè)方程（23）的特 解是： (24)其中是待定的 常函數(shù)。由于這種方法 對(duì)于自由項(xiàng)的形式?jīng)]有任何的限制,因此使用的范圍會(huì)比較廣,但是求解的工作量相對(duì)來說會(huì)大一些。解 運(yùn)用常數(shù)變易法,設(shè)并且把它代入到方程里,就可以得到關(guān)于和的兩個(gè)方程和 解得 ,據(jù)此得到所以原方程的通解是 其中是 任意的常數(shù)。都
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