常微分方程的初等解法畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-03 13:01:38 本頁面
【正文】 量分離方程，這里的，分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。 ： 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。： 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。：常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)﹑演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理﹑化學(xué)﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑醫(yī)學(xué)﹑經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。如果，我們可將（）改寫成，這樣變量就“分離”開來了。例2方程 就是一個(gè)可以化為變量分離的方程。 我們分三種情況來討論： ①(常數(shù))情形。 ③情形。因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（）的解。 解 解方程組 得x=1，y= 代入原方程，則有, 再令,即,則上式化為， 兩邊積分，得 ， 因此 ， 記，并代回原變量，得， 把代入上式 得 整理，得 (c為任意常數(shù))、線性微分方程與常數(shù)變易法一階線性微分方程，（）。（）是變量分離方程它的解為，（）這里的c為任意常數(shù)。將上式代入（），得到方程（）的通解，（）。例4 方程（n為常數(shù)）就可以用常數(shù)變易法求解。 如果方程是恰當(dāng)微分方程時(shí)，函數(shù)應(yīng)該具有以下性質(zhì)。 解 把方程重新“分項(xiàng)組合”得到 即 或者寫成 于是，方程的通解為 ，（c為任意）、積分因子 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得x+=0為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程的積分因子，而積分因子不是唯一的。因此，在具體解題過程中，由于求出的積分因子不同從而通解可能具有不同的形式。同樣，有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里的僅為y的函數(shù)。分組得顯然前兩項(xiàng)具有積分因子，相應(yīng)的全微分為，要使得成立。解： 方程各項(xiàng)重新組合為 ，，此時(shí)，可令，上方程化為，解之得 ， 在常微分方程中，每一道題都有多種解法，不同的解法答案是相同的，在社會(huì)中的應(yīng)用大致也是相同的，下面就讓我們看看一道常微分方程到底有多少種解法。，關(guān)于積分，得，，所以通解為。解法1 可將原方程改寫為 ，左端有積分因子或，但考慮到右端只與變量有 關(guān)，故取為方程的積分因子，因此有，兩邊積分可得通解 ，易見也是原方程的解。解法4由于，只與有關(guān)，所以存在關(guān)于的積分因子，以乘以方程兩端，得到 ，為恰當(dāng)方程，即，因而通解為 ，另外，易見也是原方程的解。因此，我們自然會(huì)想到，能否用冪級(jí)數(shù)來表示微分方程的解呢？所以我們接下來就來討論這一問題。 設(shè) 事實(shí)上，方程是一階線性的，容易求得它的通解為
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