【正文】 )1l n(1??? axay ； 3 、4)121( ?? xy .三、121613??? xxy.上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 58 第四節(jié) 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 二、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 四、小結(jié) 思考題 三、二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 59 二階線性微分方程 )()()(22xfyxQdxdyxPdx yd ???時，當 0)( ?xf 二階線性齊次微分方程 時，當 0)( ?xf 二階線性非齊次微分方程 n階線性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 60 定義 設(shè)函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是定義在某區(qū)間 I 上的兩個函數(shù) ， k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 不失一般性， 考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)， 我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實上 ，當 y1(x) 與 y2(x) 線性相關(guān)時 ， 有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全為 0， ,012211 kkyyk ??? 則設(shè)如果存在兩個不全為 0 的常數(shù) k1和 k2， 使 在區(qū)間 I 上恒成立 . 則稱函數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在區(qū)間 上是 線性相關(guān) 的，否則稱為 線性無關(guān) . 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 61 即 y1 與 y2 之比為常數(shù) . 反之 ， 若 y1 與 y2 之比為常數(shù) ， ,21 ??yy設(shè) 則 y1 = ? y2，即 y1 ? y2 = 0. 所以 y1 與 y2 線性相關(guān) . 因此 ， 如果兩個函數(shù)的比是常數(shù) ， 則它們線性相關(guān)； 例如函數(shù) y1 = ex， y2 = e x， 12( yy ? 常 數(shù) ) ，如果不是常數(shù) 則它們線性無關(guān) . 例如 線性無關(guān) ,s i n,c o s 21 xyxy ??,0???? yy,t a n12 常數(shù)且 ?? xyy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 62 問題 : 一定是通解嗎？2211 yCyCy ??( ) ( ) 0y P x y Q x y?? ?? ? ?12yy如 果 函 數(shù) 與 是 方 程的 兩 個 解 ，1 1 2 2( ) ( ) 0y C y C yy P x y Q x y???? ?? ? ?那 么 也 是的 解 。 ??????? 00),(yyyxfyxx一階 : 二階 : ????????????? 00 00 ,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線 . 初值問題 : 求微分方程滿足初始條件的解的問題 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 10 例 3 驗證 : 函數(shù) ktCktCx s i nco s21?? 是微分方程 0222?? xkdtxd的解 . 并求滿足初始條件0,00????ttdtdxAx 的特解 .解 ,c oss i n 21 ktkCktkCdtdx ????,s i nc o s 221222ktCkktCkdt xd ???,22的表達式代入原方程和將 xdt xd上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 11 .0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??,0,00 ????tt dtdxAx? .0,21 ??? CAC所求特解為 .cos ktAx ?補充 : 微分方程的初等解法 : 初等積分法 . 求解微分方程 求積分 (通解可用初等函數(shù)或積分表示出來 ) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 12 思考題 函數(shù) xey 23? 是微分方程 04 ???? yy的什么解 ?思考題解答 ,6 2 xey ??? ,12 2 xey ??????? yy 4 ,03412 22 ??? xx eexey 23?? 中不含任意常數(shù) , 故為微分方程的 特 解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 13 三、設(shè)曲線上點 ),( yxP 處的法線與 x 軸的交點為 Q ,且線段 PQ 被 y 軸平分 , 試寫出該曲線所滿足的微分方程 .一、 填空題 : 1 、 022???????? yxyyx 是 ___ __ _ 階微分方程；2 、 022???cQdtdQRdtQdL 是 ___ _ __ 階微分方程；3 、 ????2sin??dd是 ___ _ __ 階微分方程；4 、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有 ___ _ 個任意常數(shù) .二、確定函數(shù)關(guān)系式 )s i n (21 CxCy ?? 所含的參數(shù) , 使 其滿足初始條件 1???xy , 0?? ??xy .練 習 題 四、已知函數(shù) 1???? ? xbeaey xx , 其中 ba , 為任意常 數(shù) , 試求函數(shù)所滿足的微分方程 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 14 練習題答案 一、 1 、 3 ； 2 、 2 ； 3 、 1 ； 4 、 2.二、 .2,121??? CC三、 02 ??? xyy .四、 xyy ????? 1 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 15 第二節(jié) 一階微分方程 一、可分離變量的微分方程 二、齊次方程 三、一階線性微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 16 一、可分離變量的微分方程 dxxfdyyg )()( ?可分離變量的微分方程 . 5422 yxdxdy ?例如 ,2 254 dxxdyy ?? ?解法 設(shè)函數(shù) )( yg 和 )( xf 是連續(xù)的 ,? ?? dxxfdyyg )()(設(shè)函數(shù) )( yG 和 )( xF 是依次為 )( yg 和 )( xf 的原函數(shù) , CxFyG ?? )()( 為微分方程的解 . 分離變量法 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 17 例 1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy ?解 分離變量 ,2 xdxydy ?兩端積分 ,2?? ? xdxydy12ln Cxy ??.2 為所求通解xCey ??典型例題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 18 例 2 衰變問題 : 衰變速度與未衰變原子含量 M 成正比 , 已知 00 MM t ?? , 求衰變過程中鈾含量)( tM 隨時間 t 變化的規(guī)律 . 解 ,dtdM衰變速度 由題設(shè)條件 )0( 衰變系數(shù)????? MdtdM dtMdM ???,?? ??? dtMdM00 MM t ??代入,lnln CtM ???? ,tCeM ???即00 CeM ?得 ,C?teMM ???? 0 衰變規(guī)律 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 19 思考題 求解微分方程 .2c os2c os yxyxdxdy ????思考題解答 ,02co s2co s ????? yxyxdxdy,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy ,2s i n2s i n2?? ?? dxxydy2co t2cs clnyy ? ,2cos2 Cx ?? 為所求解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 20 一、求下列微分方程的通解 : 1 、 0t a ns e ct a ns e c 22 ?? x d yyy d xx ； 2 、 0)()( ???? ?? dyeedxee yyxxyx ； 3 、 0)1( 32 ??? xdxdyy . 二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、xdxyy d yx s inc o ss inc o s ?,40???xy ； 2 、 0s i n)1(c o s ??? ? y d yey d x x,40???xy . 練 習 題 練習題答案 一、 1 、 Cyx ?t a nt a n ； 2 、 Cee yx ??? )1)(1( ； 3 、 Cxy ??? 43 3)1(4 . 二、 1 、 xy c o sc o s2 ?； 2 、 ye x c o s221 ?? . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 21 二、齊次方程 )( xyfdxdy ?形如 的微分方程稱為 齊次方程 . ,xyu ?作變量代換 ,xuy ?即代入原式 ,dxduxudxdy ???),( ufdxduxu ??.)( x uufdxdu ??即 可分離變量的方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 22 例 1 求解微分方程 ( 1 c o s ) c o s 0 .y y yd x d yx x x? ? ?，令 xyu ? ，則 u d xxdudy ??( 1 c o s ) c o s ( ) 0 ,u u d x u u d x x d u? ? ? ?,cos xdxu du ?? ,lns i n Cxu ???.lns i n Cxxy ???微分方程的通解為 解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 23 2222yxyxxyydxdy????,1222????????????????xyxyxyxy,xyu ?令 ,u d xxdudy ??則,1 2 22uuuuuxu??????.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程 解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 24 ,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????.)2(123 Cxuuu ???微分方程的解為 .)2()( 32 xyCyxy ???,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 25 利用變量代換求微分方程的解 23 ( ) .dy xydx ??例 求 的 通 解解 ,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程 21 udxdu ?? ,a r c t a n Cxu ??解得得代回 ,yxu ?? ,)a r c t a n( Cxyx ???原方程的通解為 .)t a n ( xCxy ???上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 26 思考題 方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????是否為齊次方程 ? 思考題解答 方程兩邊同時對 求導 : x,2 22 yxyyxy ?????,22 yyxyx ???? ,12