【正文】 xxx可取???????????1113X 因此基解矩陣為????????????????ttttttteeeeeeet2222200)( .（ 11分） 四． 討論題 ：（本題 12分） 研究方程 22xydxdy n ?? 1． 當(dāng) n=1, 方程是什么類型的方程？并求解之。 2 39。 當(dāng) (1, )x? ?? 時 , 39。 4 39。39。39。 2. 2 39。xp p? 得 p Cx? , 所以通解是 2 122CyxC??,由 1p?? 得奇解 px?? . 四、 (20分 )求下列各方程的通解 : 1. 39。u y xy?? = ()u yy x e x??= uxe , 所以 ue du xdx? ? ? 22u xeC?? ? ? , 即 得 通 解22xy xeC?? ? ? 。 4. 2 20d y d yx y xd x d x?? ? ? ?????. ? 參考答案 o 1. dxdy =yxxy y321?? ? 221 (1 )ydy dxy x x??? ? 222 2 2( ) ( )1 (1 )d y d xy x x??? ? 2 22 1lo g (1 ) lo g x xyC?? ? ?? 22 1 21 xyC x?? ? ? 通解為 2 2 21( 1 ) ( 1 )y x C x? ? ? 或者 寫成2 2 2 2x y x y C??? ? ?。 5. 如果 ()t? 、 ()t? 均為方程組 ()dX A t Xdt ? 的基解矩陣 ,那么必存在可逆常數(shù)矩陣 C 使得 ( ) ( )t t C? ?? 成立 。 4. 方程 39。 2 39。 2. ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy??是全微分方程 (恰當(dāng)方程 )的充要條件 ② 。 3. 方程 4 3 24 3 22 5 0d y d y d yd t d t d t? ? ?的通解是 ③ 。 xy y y xe? ? ? 的特解可設(shè)為 ④ . ? 參考答案 o 1. ( ) ( )[ ( ) ]P x d x P x d xy e Q x e d x C???? ? ?? 2. MNyx??? o 3. 1 2 3 4c os 2 sin 2tty C C t C e t C e t??? ? ? ? 4. 2 ()xy x Ax B e?? 二、是非判斷題 : (每小題 2分 ,共 12分 ) 1. 如果 ( ) ( )X t i t????是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的復(fù)值解(這里 ()t? 、 ()t? 、 ()bt 都是實向量函數(shù) , ()At 是實矩陣函數(shù) ), 那么 ()Xt?? 是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的解 。39。 6. 方程 dxdy =2 y 滿足初始條件 :x=0時 y=0的解只有 y=0 . 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 ? 參考答案 o 1. , 2. , 3. √ , 4. √ , 5. √ , 6. . 三、 (24分 )求解下列各方程 : 1． dxdy =yxxy y321??。 o 2. dxdy =331 yxxy?? dxdy = 33xy x y? ? 3dxx dy? = 23x y y? ? ? 2()dxdy? = 2322x y y??? ? 22 3 2[ 2 ]y d y y d yx e y e d y C?? ?? ? ?? = 223[ 2 ]yye y e dy C? ??? =222[(1 ) ]yye y e C? ??, 即 ,通解為 222(1 ) yx y C e??? ? ?。 o 4. x(dxdy )22y( dxdy )+x=0 ,設(shè) dxdy p? ,則 1()22pyx p??,兩邊浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 關(guān)于 x 求導(dǎo)得21 1 1( ) 39。39。39。 39。 39。 6 0t x tx x? ? ?設(shè) tes? 則 原 方 程 化 為( 1 ) 4 6 0D D x D x x? ? ? ?,(其中 dD ds? ), 即 2 5 6 0D x D x x? ? ?,此方程通解是 2312ssx C e C e??,所以原方程的通解是 2312x C t C t??. 五、 (14分 )解方程組 : 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 ???????????????zxdtdzyxdtdyzydtdx ? 參考答案 o 由 111 1 01 0 1AE??????? ? ??=0 得 2( 1)????,所以，特征值是 1 2,30, 1????. 對于 2,3 1? ? ，設(shè) ()()()tttx At B ey Ct D ez Et F e? ??????? ??? (6 分 ) 代入方程組可得A C EA B D FC A CC D B DE A EE F B F???? ? ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ??? ? 0AB C EB D F?????????? 記 1B C E C??? , 2DC? , 則1 1 2 1 2 10 , , , , ,A B C C C D C E C F C C? ? ? ? ? ? ?. 對于 1 0?? ,可求得一特征向量 111????????????. 因此 ,原方程的通解是 131 2 31 2 1 3()tttx C e Cy C t C e Cz C t C C e C? ???? ? ??? ? ? ? ??,或者寫成 1 2 31 0 1111 1 1ttxy C t e C e Czt? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?. 六、 (12分 )已知微分方程 39。0yy?? ,所以 , 2 xy Ce?? .因為 y(x)在 x=1連續(xù) ,所以 2 22Ce??. 所以 ,所求函數(shù)是 2 2 , 12 ( 1) , 1xxexy e e x??? ??? ? ???. 七、 (10 分 )判斷下列方程組的零解的穩(wěn)定性 : 1．???????????yyedtdyyxdtdxx c o s32s in82 2．??????????53yxdtdyxydtdx ? 參考答案 o 1. 一次近似方程是 39。 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )dV x x y y x y x y x y x ydx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 定負 , 因此 ,原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的 . 模擬試題 2 一．填空題：（第 1小題 4 分，其它每小題 3 分，共 25 分） 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 1．方程 0)( 24 ??????? yxyy 是 階是 (非 ) 線性方程 . 2．若方程 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy??（ ( , ) ( , )M x y N x y， 連續(xù)）是全微分方程， 則 ( , ) ( , )M x y N x y， 滿足關(guān)系 . 3．李普希茲條件是保證初值問題 00( , )()dy f x ydxy x y? ???? ??解唯一性的 條件 . 4．對于一階方程 )()( xqyxpdxdy ?? （ p(x),q(x)∈ C(a,b)） , 則其任一解的存在區(qū)間是 . 5．對于歐拉方程 0222 ??? ydxdyxdx ydx ，只需作變換 ，即可將其化為常 系數(shù)線性方程 . 6．對于二階方程 0)( ???? xtax ，其由解 )(),( 21 txtx 所構(gòu)成的Wronski行列式必為 . 7．對于常系數(shù)線性齊次方程組 ???? A ，若常系數(shù)矩陣 A 的特征根的實部都是負的， 則方程組的任一解當(dāng) ??t ∞時 . 8．單擺運動方程 0s in ?????? ???? lgm 可化為一階方程組 . ? 參考答案 1. 三 ，非 2 ． MNyx??? 3．充分， 4． (a,b)， 5． tex? ， o 6．常數(shù) ， 7. 趨于零， 8.?????????ymxlgdtdyydtdx?sin . 二．求解下述方程：（每小題 6 分，共 42 分） 1． yxedxdy ?? 2．22 yx ydxdy ?? 3． 02)( 2 ??? x y d ydxyx 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 4. 2)( 22 xdxdyxdxdyy ??? 5. 12 ????? txax 6. txx sin???? 7. 0)( 2 ????? xxx ? 參考答案 o 1. 0??? Cee yx (6分 ) o 2. yxyy yxdydx ???? 222 ，解為 yCyyyx ???? 2ln2 o 3. 積分因子為21x，解為 Cxyx ?? 2ln (6分 )； o 4. 設(shè) dxdy p? (1 分 ) ，令 dxdyp? ，解為222 4121 xyCCxxy ???? 及 (6 分 )； o 5. （ I）當(dāng) 0?a ，2123 2161 CtCttx ????。 2． 當(dāng) n=2, 方程是什么類型的方程 ?通過觀察能否直接求出其解？ 如何作變換將其化為可求解的類型，并具體求解之。)(39。39。 ( ) 39。 2 2 39。 0t x tx x? ? ? . ? 參考答案 o 1. 39。 itx x e?? 求解，則參照此解法給分 . o 2. 設(shè) tes? (2 分 ) 則 原 方 程 化 為2( 1 ) 0 0D D x D x x D x x? ? ? ? ? ? ?，（其中 dD ds? ） (4 分 )， 此方程通解是 12ssx C e C e??? ，所以原方程 的通解是 112x C t C t??? (6 分 ). 五、（ 15 分） (1) 求方程組 AXX ?? , ?????????21xxX , 1243A ??????? 一基解矩陣； (2) 利用常數(shù)變易法求方程組 AXX ?? +F(t) F(t)= ????????1te ，1243A ???????滿足初始條件 X（ 0） = 11???????的特解 X(t). ? 參考答案 o (1) 55() 2tteet ???????????. o (2) 553 1 22 0 4 5()3 1 11 0 2 5t t tt t te e eXte e e????? ? ????? ? ???. 六、（ 12 分）已知微分方程 39。 2. 方程 d ()d y P x yx ? 的 滿 足 條 件 00()y x y? 的 特 解 是 ② 。 6. 方程 24 5 sinxy y y e x?? ?? ? ? 的特解可設(shè)為 ⑥ 。 4. 如果Φ (t)是 n維方程組 ()dX A t Xdt ? 的基解矩陣 ,C是 n階常數(shù)矩陣 ,那么Φ (t)C 也是方程組 ()dX A t Xdt ? 的基解矩陣 。 4. 3dd yyx x y? ?. 5. x″ +x=et。 3. 設(shè) yeu? ? ，則2d 1 3d u xuxx??? , 所以 33dd 32211[ d ] ( )2xxxxu e e x C x x Cx? ???? ? ? ? ?