【正文】 ? ??? 2 32 ( ) ( )h ny x O h??? ? ?即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 ? ?( 1 ) ( )1 1 1 1 1 11( ) ( 0 )1 1 1 1( 1 )111 1 1()1( , ) ( , )1 , ( )( , )kkn n n n n nkkn n n nknnn n n nkny y h f x y f x yhL y y hL y yhL y y ky y h f x yy?? ? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???若在 迭 代 公 式 中 取 極 限 ， 有因 此 的 極 限 就 是 隱 式 方 程 的 解迭代法求隱式歐拉格式中 yn+1的收斂性 43/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 見上圖， 顯然，這種近似也有一定誤差， 如何估計這種誤差 y(xn+1) ? yn+1 ？ 方法同上，基于 Taylor展開 估計 局部截斷誤差 。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 由于未知數(shù) yn+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱為 隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱為 顯式 /* explicit */ 歐拉公式。 歐拉 (Euler)法 歐拉方法的收斂性 ? ?1111, ( 8 .2 )| | | ( ) ( , ( ) ) ( , ) | | ( ) | | ( , ( ) ) ( , ) | | ( ) | | ( ) | ( ) ( 1 )nnn n n n n n nnn n n n n nn n n nyyy y y x h f x y x y h f x yy x y h f x y x f x yy x y h L y x yhL????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???對 應 用 歐 拉 公 式 得李 普 希 茲 條 件| | . ( 4 )ne38/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 由此知，當 m a x | | , ( 4 ) ( 3 )kkTT?記 將 代 入 得? ?1121210112| | ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) | |( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( )( 1 ) 1 (nnnnnnnne T hL eT hL T hL eT hL T hL eT hL T hL T hL ThL ehL hLT O hhL hLO??????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ).h10 , | | 0 , nhe ??? 歐 拉 公 式 是 一 階有 收 斂 的 。 歐拉 (Euler)法 局部截斷誤差 ? ?11 112() ( ) ( ) ( , ( ) ) ( ) . 2nn nn n n nnT y x yy x y x h f x y xhy ??? ????? ? ????2221 m a x | ( ) | ,| | | ( ) | ( ) . 22a x bnnM y xhhT y M O h?????????? ? ?令 則稱為 局部截斷誤差 35/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 00 y)y ( x )。 歐拉 (Euler)法 若對積分用梯形公式，則得 ? ?))(,())(,(2)()( 111 ??? ??? nnnnnn xyxfxyxfhxyxy? ?????????? ??? )(),(),(20111ayyyxfyxfhyy nnnnnn梯形歐拉公式 26/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 例 用歐拉法解初值問題 ??????????1)0()(2yxxyyy取步長 h= ,計算過程保留 4位小數(shù) 解 : h=, 歐拉迭代格式 2),( xyyyxf ???21 ),( iiiiiiii yhxhyyyxhfyy ?????? ( 4 ) ( 0 , 1 , 2 3 )i i iy x y i? ? ? ，當 k=0, x1= ， 已知 x0=0， y0=1， 有 y()?y1= 1(4－ 0 1)＝ 當 k=1, x2= ， 已知 x1 =， y1 =， 有 y()? y2 = (4－ )＝ 當 k=2, x3 = ， 已知 x2 =， y2 =， 有 y() ?y3= ( )= 27/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 (1) 用差商近似導數(shù) ))(,()()()()( 1 nnnnnn xyxhfxyxyhxyxy ?????????????)(),(01ayyyxhfyy nnnn差分方程初值問題 向前 Euler方法 hxyxyxy nnn)()()( 1 ??? ? ))(,()()( 1nnnn xyxfhxyxy ???))(,()( nnn xyxfxy ??23/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 對已求得點 以 為斜率作直線 ),( nnn yxP)( nxy? ( , )nnf x y? ))(,( nnnn xxyxfyy ???1?? nxx ))(,( 11 nxnnnn xxyxfyy ??? ??nn yxy ?)(取 19/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 從圖形上看 ,就獲得了一條近似于曲線 y=y(x) 的折線 。 ??????00 )(),(yxyyxfy),( 00 yx),( yx )(xy? ),( yxf16/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis P ? i + 1 P n ? y= y( x) P 1 ? P i? P n P i + 1 P 0 x 0 x 1 x i x i + 1 x n P i P 1 Euler法的求解過程是 :從初始點 P0(即點 (x0,y0))出發(fā) , 作積分曲線 y=y(x)在 P0點上切線 (其斜率為 ),與 x=x1直線 10PP0 0 0( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?相交于 P1點 (即點 (x1,y1),得到 y1作為 y(x1)的近似值 ,如上圖所示。 如何求解 13/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 14/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 15/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解。 )(, nyyy ????7/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? 常微分方程 ( ODEs 未知函數(shù)是一元函數(shù) ) ? 偏微分方程 ( PDEs 未知函數(shù)是多元函數(shù) ) vmcgdtdv ??22xuxuutu???????? ? 0yx222?????? ??8/69 鄭州大學研究生 20222022學年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ,2)(39。在