常微分方程43高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法-wenkub
2023-05-22 05:30:47 本頁面
【正文】 1( 1 ) ( ) ( ) , ( 4 . 7 8 )! ( 1 ) 2k k nnkxy J xk n k????? ? ?? ? ? ??( ) ( 4 . 7 4 ) ,.nJ x B e s s e ln B e s s e l? 是由 方程 定義的特殊函數(shù) 稱為 階 函數(shù)由達朗貝爾判別法 ,對任 x值 (),()收斂 . , ( ) ( )nnJ x J x?因 此 , 當 不 等 于 非 負 整 數(shù) 時 和 都 是() 的 解 , 且 線 性 無 關(guān) .2021/6/17 常微分方程 因而 ()的通解為 12( ) ( ) ,nny c J x c J x???12,.cc這 里 為 任 常 數(shù)()n n a k n? ? ? ?2k當 等 于 正 整 數(shù) , 而 , 不 能 從 () 確 定因此 ,不能象上面一樣求得通解 。 ( 1 )0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y?? 的情況用級數(shù)表示解 ? 0 0)x ?( 不失一般性, 可設(shè)2021/6/17 常微分方程 定理 10 , ( 4 . 7 2 )p x q x xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) () 和 () 都 可 展 成 的冪 級 數(shù) , 且 收 斂 區(qū) 間 為 則 方 程 有 形 如0, ( 4 . 7 3 )nnny a x???=.xR ?的 特 解 , 也 以 為 級 數(shù) 的 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 定理 11 2( ) ( )( ) ( ), ( 4. 72 )p x q xx p x x q xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) 和 都 具 有 這 樣 的性 質(zhì) , 即 和 均 可 展 成 x 的 冪 級 數(shù) , 且 收 斂 區(qū)間 為 則 方 程 有 形 如00, ( 4 . 7 5 )nnnnnny x a x a x???????????0 0,.axR???的 特 解 , 這 里 是 一 個 待 定 常 數(shù) , 級 數(shù) () 也 以為 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 例 4 39。 ,z y x?? k令 則 在 0 的 區(qū) 間 上 方 程 變 為( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) 0 , ( 4. 67 )nn nz b t z b t z?? ?? ? ? ?39。 ( 1 ) 39。 39。39。1 1 12 [ ( ) ] 0dzx x p t x zdt ? ? ?解之得 ()21,p t d tczex? ??即 ()1 1 2 211[ ] , ( 4 . 7 0 )p t d tx x c c e d tx? ??? ?2021/6/17 常微分方程 第三步 : 1 2 10,c c x?令 =1 得 與 線 性 無 關(guān) 一 個 解 :()21 211 ,p t d tx x e d tx? ?? ?第四步 : ()的 通解 為 ()1 1 2 211[ ] , ( 4 . 7 0 )p t d tx x c c e d tx? ??? ?12,cc這里 是任常數(shù).注 一般求 ()的解直接用公式 () 2021/6/17 常微分方程 解 這里 12 si n( ) , tp t xtt??由 ()得 2212 2[]s indtttc c e d tt? ?? ?例 3 22si n 20.t d x dxxxt dt t dt? ? ? ?已 知 是 方 程 的 解 ,試 求 方 程 的 通 解212 2s in [s inttcctt?? ?12sin [t cct??121 [ si n c o s ]c t c tt?? 12,cc這里 是任常數(shù).sin txt?21 ]dttcot ]t2
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