【正文】 ? ? ?????。 歐拉 (Euler)法 00 y)y ( x )。yxydxdy ????0 1 h = h = 22 4) /x1(: ??y解析解為33/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 局部截?cái)嗾`差 ? ?11 112() ( ) ( ) ( , ( ) ) ( ) . 2nn nn n n nnT y x yy x y x h f x y xhy ??? ????? ? ????2221 m a x | ( ) | ,| | | ( ) | ( ) . 22a x bnnM y xhhT y M O h?????????? ? ?令 則稱(chēng)為 局部截?cái)嗾`差 35/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 11| | ( ) ,pnT O h ?? ?36/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 歐拉方法的收斂性 ? ?1111, ( 8 .2 )| | | ( ) ( , ( ) ) ( , ) | | ( ) | | ( , ( ) ) ( , ) | | ( ) | | ( ) | ( ) ( 1 )nnn n n n n n nnn n n n n nn n n nyyy y y x h f x y x y h f x yy x y h f x y x f x yy x y h L y x yhL????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???對(duì) 應(yīng) 用 歐 拉 公 式 得李 普 希 茲 條 件| | . ( 4 )ne38/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 由此知，當(dāng) m a x | | , ( 4 ) ( 3 )kkTT?記 將 代 入 得? ?1121210112| | ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) | | ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) | |( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( )( 1 ) 1 (nnnnnnnne T hL eT hL T hL eT hL T hL eT hL T hL T hL ThL ehL hLT O hhL hLO??????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ).h10 , | | 0 , nhe ??? 歐 拉 公 式 是 一 階有 收 斂 的 。 歐拉 (Euler)法 注 ? 整體截?cái)嗾`差與局部截?cái)嗾`差的關(guān)系： 1 ( 1 ) ( ) 0 , ( 1 ) e , ( 1 ) e e .n n zn n h L L b azzh L c o n st? ? ?? ? ?? ? ? ? ?111| | ( | | ) .nne O h T?????40/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 由于未知數(shù) yn+1 同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱(chēng)為 隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱(chēng)為 顯式 /* explicit */ 歐拉公式。因此隱式公式較顯式公式計(jì)算復(fù)雜，但穩(wěn)定性好（后面分析）。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 ? ?( 1 ) ( )1 1 1 1 1 11( ) ( 0 )1 1 1 1( 1 )111 1 1()1( , ) ( , )1 , ( )( , )kkn n n n n nkkn n n nknnn n n nkny y h f x y f x yhL y y hL y yhL y y ky y h f x yy?? ? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???若在 迭 代 公 式 中 取 極 限 ， 有因 此 的 極 限 就 是 隱 式 方 程 的 解迭代法求隱式歐拉格式中 yn+1的收斂性 43/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 見(jiàn)上圖， 顯然，這種近似也有一定誤差， 如何估計(jì)這種誤差 y(xn+1) ? yn+1 ？ 方法同上，基于 Taylor展開(kāi) 估計(jì) 局部截?cái)嗾`差 。 (xn+1)代替 f(xn+1 , yn +1 ) 設(shè)已知曲線上一點(diǎn) Pn (xn , yn ),過(guò)該點(diǎn)作弦線，斜率為 (xn+1 , yn +1 ) 點(diǎn)的方向場(chǎng) f(x,y)。 幾何意義 xn xn+1 Pn Pn+1 x y y(x) 44/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? 隱式 歐拉法的局部截?cái)嗾`差： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 11121 1 1, , , , ,2n n n n y n n nnnn n n n n nf x y f x y x f x y y xy y xhf x y x y x y x h y x y x??? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ?????? ? ?? ???? ? ? ? ?由 微 分 中 值 定 理 ， 得 其 中 在 ， 之 間 ；又1 1 1( ) ( , ) n n n ny y x h f x y? ? ??由 向 后 歐 拉 公 式 ， 定 義 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 132, 2n n y n n nn n ny y x h f x y y xhh y x h y x y x?? ? ? ??? ? ?????? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?231 26n n n n nhhy x y x hy x y x y x? ? ?? ???? ? ? ? ?而45/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1232311( ) , 231,23n n n y n n nnny n n n nT y x y hf x y x yhhy x y xhhhf x T y x y x??? ? ? ? ? ????? ? ? ??????? ???? ? ??? ? ?? ???? ? ? ? ???從 而即? ?? ? ? ?? ?2211121 , ,1,( 1 )1y n y nynhf x h f xhf xxxx????????? ? ? ???? ? ? ??1146/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?23221 1 1231221 T 1 , ,23 3 , 226 T ( )2n y n y n n nn y n n nnnhhh f x h f x y x y xhhy x f x y x y xhy x o h???? ? ????????? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ??????? ??????? ?? ??? ? ? ? ?????? ? ? ?? 隱式 歐拉法的局部截?cái)嗾`差： 1 1 1()n n nT y x y? ? ??? 2 32 ( ) ( )h ny x O h??? ? ?即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 1 ( , ) 0 , 1 , ...n n n ny y h f x y n? ? ? ?比較歐拉顯式公式和隱式公式及其局部截?cái)嗾`差 2 31 1 1 2( ) ( ) ( )hn n n nT y x y y x O h? ? ? ??? ? ? ?顯式公式 1 1 1( , )n n n ny y h f x y? ? ???隱式公式 2 31 1 1 2( ) ( ) ( )hn n n nT y x y y x O h?