【正文】 一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) 第四模塊 微積分學(xué)的應(yīng)用 第十三節(jié) 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程 二、二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法 三、應(yīng)用舉例 一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階微分方程的如下形式 y? + p(x)y? + q(x)y = f (x) 稱(chēng)為二階線(xiàn)性微分方程 ， 簡(jiǎn)稱(chēng) 二階線(xiàn)性方程 . f (x) 稱(chēng)為 自由項(xiàng) ， 當(dāng) f (x) ?0 時(shí) ， 稱(chēng)為 二階線(xiàn)性非齊次微分方程 ， 簡(jiǎn)稱(chēng) 二階線(xiàn)性非齊次方程 . 當(dāng) f (x) 恒為 0 時(shí) ， 稱(chēng)為 二階線(xiàn)性齊次微分方程 ， 簡(jiǎn)稱(chēng) 二階線(xiàn)性齊次方程 . 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù) . 這類(lèi)方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零 ， 左邊每一項(xiàng)含 y? 或 y? 或 y， 且每項(xiàng)均為 y? 或 y? 或 y 的一次項(xiàng) ， 例如 y? + xy? + y = x2 就 是二階線(xiàn)性非齊次方程 . 而 y? + x(y?)2 + y = x2 就不是二階線(xiàn)性方程 . 定理 1 如果函數(shù) y1 與 y2 是線(xiàn)性齊次方程的兩個(gè)解 ， y = C1 y1 + C2 y2 仍為該方程的解 ， 證 因?yàn)? y1 與 y2 是方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的兩個(gè)解 ， ,0)()( 111 ?????? yxqyxpy與 .0)()( 222 ?????? yxqyxpy所以有 其中 C1， C2 是任意常數(shù) . 則函數(shù) ,2211 yCyCy ?????又因?yàn)?,2211 yCyC ???????? 于是有 y? + p(x)y? + q(x)y ))(())(()( 221122112211 yCyCxqyCyCxpyCyC ????????????))()(())()(( 22221111 yxqyxpyCyxqyxpyC ????????????= 0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的解 . 定義 設(shè)函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是定義在某區(qū)間 I 上的兩個(gè)函數(shù) ， k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 不失一般性， 考察兩個(gè)函數(shù)是否線(xiàn)性相關(guān)， 我們往往采用另一種簡(jiǎn)單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實(shí)上 ，當(dāng) y1(x) 與 y2(x) 線(xiàn)性相關(guān)時(shí) ， 有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全為 0， ,012211 kkyyk ??? 則設(shè)如果存在兩個(gè)不全為 0 的常數(shù) k1和 k2， 使 在區(qū)間 I 上恒成立 . 則稱(chēng)函數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在區(qū)間 上是 線(xiàn)性相關(guān) 的，否則稱(chēng)為 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 即 y1 與 y2 之比為常數(shù) . 反之，若 y1 與 y2 之比為常數(shù)， ,21 ??yy設(shè) 則 y1 = ? y2，即 y1 ? y2 = 0. 所以 y1 與 y2 線(xiàn)性相關(guān) . 因此 ， 如果兩個(gè)函數(shù)的比是常數(shù) ， 則它們線(xiàn)性相關(guān)； 例如函數(shù) y1 = ex， y2 = e x， 常數(shù)，而 ?21yy 所以，它們是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 . 如果不是常數(shù)，則它們線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 定理 2 如果函數(shù) y1 與 y2 是二階線(xiàn)性齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解 ， y = C1 y1 + C2 y2 是該方程的通解， 證 因?yàn)? y1 與 y2 是方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的解 ， 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是該方程的解 . 又因?yàn)? y1 與 y2 線(xiàn)性無(wú)關(guān) ， 即 y1 與 y2 之比不為常數(shù) ， 故 C1 與 C2不能合并為一個(gè)任意常數(shù)， 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二階線(xiàn)性齊次方程的通解 . 則 其中 C1, C2為任意常數(shù) . 所以它們中任一個(gè)都不能用另一個(gè) ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 來(lái)表示 . 定理 3 如果函數(shù) y* 是線(xiàn)性非齊次方程的一個(gè)特解， y = Y + y*， 是線(xiàn)性非齊次方程的通解 . 證 因?yàn)? y*與 Y 分別是線(xiàn)性非齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = f (x) 和線(xiàn)性齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的解， 所以有 y*? + p(x)y*? + q(x)y* = f (x)， Y? + p(x)Y? + q(x)Y = 0 . Y 是該方程所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程的通解， 則 又因?yàn)? y? = Y? + y*?， y? = Y? + y*?， 所以 y? + p(x)y? + q(x)y = (Y? + y*? ) + p(x)(Y? + y*? ) + q(x)(Y + y*) = (Y? + p(x) Y? + q(x)Y) + ( y* ? + p(x) y*?+ q(x)y*) = f (x). 求二階線(xiàn)性非齊次方程通解的一般步驟為： (1) 求線(xiàn)性齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特解 y1 與 y2， 得該方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求線(xiàn)性非齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = f (x) 的一個(gè)特解 y*. 那么，線(xiàn)性非齊次方程的通解為 y = Y + y*. 又 Y 是二階線(xiàn)性齊次方程的通解，它含有兩個(gè)任意常數(shù)， 故 y = Y + y* 中含有兩個(gè)任意常數(shù) . 即 y = Y + y* 是線(xiàn)性非齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = f (x) 的通解 . 這說(shuō)明函數(shù) y = Y + y* 是線(xiàn)性非齊次方程的解， y? + p(x)y? + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， 分別是與且 *2*1 yyy? + p(x)y? + q(x)y = f1 (x)， 和 y? + p(x)y? + q(x)y = f2 (x) 則 *2*1 yy ?是方程 ① 的特解 . 定理 4 設(shè)二階線(xiàn)性非齊次方程為 ① ② ③ 的特解， 證 因?yàn)? y1* 與 y2* 分別是 ② 與 ③ 的特解 ， y1*? + p(x)y1*? + q(x)y1* = f 1(x)， 與 y2*? + p(x)y2*? + q(x)y2* = f 2(x) . 于是有 ))(())(()(*2*1*2*1*2