【正文】 主要內(nèi)容 典型例題 第十章 微分方程與差分方程 習(xí) 題 課 基本概念 一階方程 類 型 4. 線性方程 可降階方程 線性方程 解的結(jié)構(gòu) 相關(guān)定理 二階常系數(shù)線性 方程解的結(jié)構(gòu) 特征方程的根 及其對(duì)應(yīng)項(xiàng) f(x)的形式及其 特解形式 高階方程 待定系數(shù)法 特征方程法 一、主要內(nèi)容 —— 微分方程 微分方程解題思路 一階方程 高階方程 分離變量法 變量代換法 常數(shù)變易法 特征方程法 待定系數(shù)法 降階 作變換 基本概念 一階方程 n階常系數(shù)線性 方程 二階方程 一、主要內(nèi)容 —— 差分方程 特征方程的根 及其對(duì)應(yīng)項(xiàng) f(x)的形式 及特解形式 代入法 特征 根法 待定系數(shù)法 線性方程 解的結(jié)構(gòu) 相關(guān)定理 特征方程的根 及其對(duì)應(yīng)項(xiàng) f(x)的形式 及特解形式 特征方程法 待定系數(shù)法 差分方程解題思路 一階方程 二階方程 代入法 特征根法 特征方程法 待定系數(shù)法 微分方程 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程． 微分方程的階 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解． 通解 如果 微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解． 特解 確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解． 初始條件 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件 . 初值問(wèn)題 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題． ( ) d ( ) dg y y f x x?形如(1) 可分離變量的微分方程 解法 ( ) d ( ) dg y y f x x???分離變量法 d ()dyyfxx?形如(2) 齊次方程 解法 xyu ?作變量代換 d ( ) ( )dy P x y Q xx ??形如(3) 一階線性微分方程 ,0)( ?xQ當(dāng) 上述方程稱為齊次的． 上述方程稱為非齊次的 . ,0)( ?xQ當(dāng)齊次方程的通解為 ( ) dP x xy Ce ? ?? （用分離變量法） 非齊次微分方程的通解為 ( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C? ?????（用常數(shù)變易法） 解法 ),( xPy ??令特點(diǎn) .y不顯含未知函數(shù)),()2( yxfy ???? 型 )()1( )( xfy n ?接連積分 n次，得通解． 型 解法 代入原方程 , 得 ) ) .(,( xPxfP ??,Py ????),( xPy ??令特點(diǎn) .x不顯含自變量),()3( yyfy ???? 型 解法 代入原方程 , 得 d( , ) .d PP f y Py ?d ,dPyPy?? ?４ .線性微分方程解的結(jié)構(gòu) （ 1） 二階齊次方程解的結(jié)構(gòu) : )1(0)()( ?????? yxQyxPy形如定理 1 如果函數(shù) )(1 xy 與 )(2 xy 是方程 (1) 的兩個(gè)解 , 那末 2211 yCyCy ?? 也是 ( 1 ) 的解 . （ 21 , CC 是常數(shù)）定理 2 ：如果 )(1xy 與 )(2xy 是方程 ( 1 ) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 , 那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 ( 1 ) 的通解 .（ 2）二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) : )2()()()( xfyxQyxPy ??????形如定理 3 設(shè)*y 是 )2( 的一個(gè)特解 , Y 是與 (2) 對(duì)應(yīng)的齊次方程 (1) 的通解 , 那么*yYy ?? 是二階非齊次線性微分方程 (2) 的通解 .定理 4 設(shè)非齊次方程 (2) 的右端 )( xf 是幾個(gè)函數(shù)之和 , 如 )()()()(21xfxfyxQyxPy ???????而*1y 與*2y 分別是方程 , )()()(1xfyxQyxPy ?????? )()()(2xfyxQyxPy ??????的特解 , 那么*2*1yy ? 就是原方程的特解 .５ .二階常系數(shù)齊次線性方程解法 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?形如n階常系數(shù)線性微分方程 0?????? qyypy 二階常系數(shù)齊次線性方程 )( xfqyypy ?????? 二階常系數(shù)非齊次線性方程 解法 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為 特征方程法 . 02 ??? qprr0?????? qyypy 特征根的情況 通解的表達(dá)式實(shí)根21rr ?實(shí)根21rr ?復(fù)根 ?? ir ??2,1xrxreCeCy2121??xrexCCy2)(21??)s i nc o s(21xCxCeyx?????特征方程為 ６ .二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法 )( xfqyypy ?????? 二階常系數(shù)非齊次線性方程 型)()()1( xPexf mx??解法 待定系數(shù)法 . ,)( xQexy mxk ???設(shè) ??????是重根是單根不是根???2,10k型]s in)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ???設(shè)次多項(xiàng)式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm ,m ax???????.1。0是特征方程的單根時(shí)不是特征方程的根時(shí)????iik差分的定義 .Δ)1()()1()0(:).(11210xxxxxxxyyyyyyyyyyxfxfffxxfy???????也稱為一階差分，記為的差分，為函數(shù)稱函數(shù)的改變量，，，將之簡(jiǎn)記為，，，列函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)取非負(fù)整數(shù)時(shí)，當(dāng)設(shè)函數(shù)????7. 差分方程基本概念 xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy?????????????????12112122)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即差分的一階差分的的二階差分為函數(shù)函數(shù).以上的差分高階差分：二階及二階)(),( 3423 xxxx yyyy ????????差分：同樣可定義三階、四階 ??差分方程與差分方程的階 .,Δ,Δ 2稱為差分方程的函數(shù)方程含有未知函數(shù)的差分 ??xx yy0),,( 2 ???? xnxxx yyyyxF ?形式：定義 1 定義 2 ., 1 的方程，稱為差分方程個(gè)以上時(shí)期的符號(hào)含有未知函數(shù)兩個(gè)或兩??xx yy)1(0),(0),(11???????nyyyxGyyyxFnxxxnxxx??或形式：.稱為差分方程的階大值與最小值的差方程中未知數(shù)下標(biāo)的最差分方程的解 .)(φ該差分方程的解邊恒等，則稱此函數(shù)為兩代入差分方程后，方程如果函數(shù) xy ?含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與差分方程的 階數(shù)相同的差分方程的解 . 差分方程的通解 為了反映某一事物在變化過(guò)程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài)，對(duì)差分方程所附加的條件 . 通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解 . 初始條件 差分方程的特解 01111 ????? ????? xnxnnxnx yayayay ?n階常系數(shù)齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 ? ?xfyayayay xnxnnxnx ????? ????? 1111 ???1??2? ? ? ? .21 方程階常系數(shù)齊次線性差分所對(duì)應(yīng)的為注： n? ? 0?xf 01111 ????? ????? xnxnnxnx yayayay ?n階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu) ??1定理 1 如果函數(shù) )(1 xy , )(2 xy ,)( xy k，? 是方程 ( 1 ) 的 解 , 那 么 kk yCyCyCy ???? ?2211 也是( 1 ) 的解 . （ kCCC ， ?21 , 是任意常數(shù)） （ 是任意常數(shù)） 定理 2 ：如果 )(1xy , )()(2 xyxy n， ? 是方程 (1)的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 , 那么nn yCyCyCy ???? ?2211 就是方程 (1) 的通解 . nCCC ， ?21 ,定理 3 設(shè)*xy 是 n 階常系數(shù)非齊次線性差分方程 的一個(gè)特解 , xY是與 (2) 對(duì)應(yīng)的齊次方程 (1) 的通解 , 那么*xxxyYy ??是 n 階常系數(shù)非齊次線性差分方程 (2) 的通解 . ? ?xfyayayay xnxnnxnx ????? ????? 1111 ?? ?2定理 4 設(shè)非齊次方程 (2) 的右端 )( xf 是幾個(gè)函 數(shù)之和 , 如 而*1y 與*2y 分別是方程 , 的特解 , 那么*2*1yy ? 就是原方程的特解 . ? ? ? ?xfxfyayayay xnxnnxnx 211111 ?????? ????? ?? ?xfyayayay xnxnnxnx 21111 ????? ????? ?? ?xfyayayay xnxnnxnx 11111 ????? ????? ?迭代法)0(01 為常數(shù)???? aayy xx??1）依次可得，為已知，由方程（設(shè) 10y01 ayy ?0212 yaayy ??0323 yaayy ???? .100xxxxCaYCyyay???通解為）的方程（為任意常數(shù)，于是差分滿足差分方程，令容易驗(yàn)證，01 yaa