經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)資料(已修改)
2025-09-10 12:42 本頁面
【正文】 主要內(nèi)容 典型例題 第六章 定積分及其應(yīng)用 習(xí) 題 課（一） 問題 1: 曲邊梯形的面積 問題 2: 變速直線運(yùn)動的路程 存在定理 廣義積分 定積分 定積分 的性質(zhì) 定積分的 計(jì)算法 牛頓 萊布尼茨公式 ( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a???一、主要內(nèi)容 實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積 A） inii xfA ?? ???)(l i m10??曲邊梯形由連續(xù)曲線 )( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成 .實(shí)例 2 （求變速直線運(yùn)動的路程） inii tvs ?? ???)(l i m10?? 設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度 )( tvv ? 是時間間隔 ],[21 TT上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，且 0)( ?tv ，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 s . 方法 : 分割、近似、求和、取極限 . 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意插入 若干個分點(diǎn) bxxxxxann ??????? ? 1210 ?把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為 1???? iii xxx ， ),2,1( ??i ，在各小區(qū)間上任取 一點(diǎn) i? （ ii x??? ），定義 ],[],[],[ 12110 nn xxxxxx ??怎樣的分法，( ) dbaf x x I??? iinixf ????)(lim10??. 也不論在小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 上的取法， 只要當(dāng) 0?? 時，和 S 總趨于 確定的極限 I ，在區(qū)間 ],[ ba 上的 定積分 ，記為 記 },m a x { 21 nxxx ???? ?? ，如果不論對 ],[ ba我們稱這個極限 I 為函數(shù) )( xf作乘積 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i點(diǎn) i? 怎樣并作和 iinixfS ?? ??)(1? ，可積的兩個 充分 條件： 當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)時，定理 1 定理 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上有界，稱 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上可積 .且只有有限個間斷點(diǎn)，則 )( xf 在區(qū)間],[ ba 上可積 . [ ( ) ( ) ] dba f x g x x?? ( ) dba f x x? ? ( ) dba g x x? ? 性質(zhì) 1 ( ) d ( ) dbbaak f x x k f x x??? ( k 為常數(shù) ) 性質(zhì) 2 ( ) dba f x x? ( ) d ( ) dcbac f x x f x x?? ?? 假設(shè) bca ??性質(zhì) 3 則 ( ) d 0ba f x x ?? )( ba ? 性質(zhì) 5 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 0)( ?xf ，推論： 則 ( ) dba f x x? ( ) dba g x x? ? )( ba ? 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 )()( xgxf ? ，（ 1） ( ) dba f x x? ( ) dba f x x? ? )( ba ?（ 2） 1dba x?? dba x? ? ab ?? 性質(zhì) 4 如果函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則在積分區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個點(diǎn) ? ， 使 ( ) dba f x x? ))(( abf ?? ? )( ba ?? ? 性質(zhì) 7 (定積分中值定理 ) 設(shè) M 及 m 分別是函數(shù) 則 ( ) ( ) d ( )bam b a f x x M b a? ? ? ??. )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 性質(zhì) 6 上的最大值及最小值，積分中值公式 — 萊布尼茨公式 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) ( ) ( ) dxax f t t?? ?在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù) 是 ( ) ( ) d ( )dxadx f t t f xx?? ? ?? )( bxa ?? 定理 1 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) ( ) ( ) dxax f t t?? ?就是)( xf 在 ],[ ba 上的一個原函數(shù) . 定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個原函數(shù)，則 ( ) d ( ) ( )baf x x F b F a??? ( ) d [ ( ) ] .b baa f x x F x??也可寫成 牛頓 — 萊布尼茨公式 .],[],[:上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明baba ( ) d [ ( ) ] ( ) dba f x x f t t t?? ?? ???? 換元公式 （ 1）換元法 （ 2）分部積分法 分部積分公式 d [ ] dbb baaau v u v v u????７ . 廣義積分 (1)無窮限的廣義積分 ( ) da f x x??? li m ( ) dbab f x x? ? ?? ?當(dāng)極限存在時，稱廣義積分 收斂 ；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分 發(fā)散 .( ) db f x x??? li m ( ) dbaa f x x? ? ?? ?? ? ? ? ? ?0 0d d df x x f x x f x x? ? ? ?? ? ? ???? ? ?0li m ( ) dbb f x x? ? ?? ?0li m ( ) daa f x x? ??? ?(2)無界函數(shù)的廣義積分 ( )dba f x x? 0li m ( ) dba f x x?? ???? ?當(dāng)極限存在時，稱廣義積分 收斂 ；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分 發(fā)散 .( ) dba f x x? 0l i m ( ) dba f x x?? ???? ? ( ) dba f x x? ( ) dca f x x? ? ( ) dbc f x x? ? 0l i m ( ) dca f x x?????? ? 0l i m ( ) dbc f x x?? ?? ???? ? 例 1 解 .12111lim ?????? ???????? nnnnn?求nnn
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