定積分與微積分基本定理(理)課件(已修改)
2024-12-19 18:51 本頁面
【正文】 第 四 節(jié) 定積分與微積分基本定理 (理 ) 重點難點 重點： 了解定積分的概念，能用定義法求簡單的定積分，用微積分基本定理求簡單的定積分． 難點： 用定義求定積分 知識歸納 1 ． 定積分的定義 如果函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上連續(xù)，用分點 a ＝x0 x1 … xi－ 1 xi … xn＝ b ，將區(qū)間 [ a ， b ] 等分成 n 個小區(qū)間，在每個小區(qū)間 [ xi－ 1， xi] 上任取一點 ζi( i＝ 1,2 ， … ， n ) ，作和式 ?i ＝ 1nf ( ζi)Δ x ＝ ?i ＝ 1n b － anf ( ζi) ，當(dāng) n →∞ 時，此和式無限接近某 個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上 的定 積 分，記作????ab f ( x )d x ，即????ab f ( x )d x ＝ limn →∞?i ＝ 1n b － anf ( ζi) ，這里 a與 b 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 [ a ， b ] 叫做積分區(qū)間，函數(shù) f ( x ) 叫做被積函數(shù)， x 叫做積分變量， f ( x )d x叫做被積式．此時稱函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上可積． 對定義的幾點說明： ( 1) 定積分????abf ( x )d x 是一個常數(shù)． ( 2) 用定義求定積分的一般方法是： ① 均勻分割： n 等分區(qū)間 [ a ， b ] ； ② 近似代替：取點 ξi∈ [ xi－ 1， xi] ； ③ 求和： ?i＝ 1nf ( ξi)b － an； ④ 取極限：????abf ( x )d x ＝ li mn →∞?i＝ 1nf ( ξi)b － an. ( 3) 定積分????abf ( x )d x 的值只與被積函數(shù) f ( x ) 及積分區(qū)間[ a ， b ] 有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)． 2 ． 定積分的幾何意義 當(dāng) f ( x ) ≥ 0 時，定積分????ab f ( x )d x 的幾何意義：表示由直線 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝ 0 和曲線 y ＝ f ( x ) 所圍成的曲邊梯形的面積．當(dāng) y 0 時，即曲邊梯形在 x 軸的下方時????ab f ( x )d x 在幾何上表示這個曲邊梯形面積的相反數(shù)． 一般情況下 ( 如右圖 ) ，定積分????abf ( x )d x 的幾何意義是介于 x 軸、函數(shù) f ( x ) 的圖象以及直線 x ＝ a 、 x ＝ b 之間各部分面積的代數(shù)和，在 x 軸上方的面積取正號；在 x 軸下方的面積取負(fù)號． 3 ． 定積分的性質(zhì) ( 1)????ab kf ( x )d x ＝ ( k 為常數(shù) ) ；
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