經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分定積分的幾何應(yīng)用(已修改)
2025-08-31 16:42 本頁(yè)面
【正文】 一、定積分的元素法 二、平面圖形的面積 第七節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用 三、旋轉(zhuǎn)體的體積 四、平行截面面積已知的 立體的體積 五、小結(jié) 回顧 曲邊梯形求面積的問(wèn)題 ( ) dbaA f x x? ?一、定積分的元素法 曲邊梯形由連續(xù)曲線)( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成。 a b x y o )( xfy ?面積表示為定積分的步驟如下 （ 1 ）把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)長(zhǎng)度為ix?的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為 n 個(gè)小窄曲邊梯形，第 i 個(gè)小窄曲邊梯形的面積為iA?，則 ????niiAA1. （ 2 ）計(jì)算 iA? 的近似值 iii xfA ??? )(? ii x???（ 3）求和，得 A的近似值 .)(1iinixfA ?? ???（ 4）求極限，得 A的精確值 iinixfA ?? ???)(l i m10?? ( ) dba f x x? ?a b x y o )(xfy ?提示 若用 A? 表示任一小區(qū)間],[ xxx ?? 上的窄曲邊梯形的面積，則 ? ?? AA ，并取 ( ) dA f x x?? ，于是 ( ) dA f x x? ? l i m ( ) dA f x x? ?( ) d .ba f x x? ?x dxx?dA面積元素 當(dāng)所求量 U 符合下列條件：（ 1 ） U 是與一個(gè)變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關(guān)的量； （ 2 ） U 對(duì)于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性，就是說(shuō)，如果把區(qū)間 ? ?ba , 分成許多部分區(qū)間，則 U 相應(yīng)地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和； （ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量 U 元素法的一般步驟： 1 ) 根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ],[ ba ； 2 ) 設(shè)想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，取其中任 一小區(qū)間并記為 [ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這 小區(qū)間的部分量 U? 的近似值 . 如果 U? 能近 似地表示為 ],[ ba 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在 x 處的 值 )( xf 與 d x 的乘積，就把 ( ) df x x稱為量 U 的元素且記作 d U ，即 d ( ) dU f x x? ； 3 ) 以所求量 U 的元素 ( ) df x x為被積表達(dá)式，在 區(qū)間 ],[ ba 上作定積分，得 ( ) dbaU f x x? ? ，即 為所求量 U 的積分表達(dá)式 . 這個(gè)方法通常叫做 元素法 ． 應(yīng)用方向： 平面圖形的面積，體積。 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。其他應(yīng)用。 xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值記作 d A ； 如何用元素法分析？ d A ＝ ？ ， xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ? xxfA ???第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)( xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??? ?ddA f x x＝如何用元素法分析？ 第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)( xfy ?a b第二步：寫出面積 表達(dá)式。 ( ) dbaA f x x? ?二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ?ddA f x x＝xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； 如何用元素法分析？ d A＝ ？xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b二、平面圖形的面積 x xx ??如何用元素法分析？ ? ? ? ?? ?21ddA f x f x x?＝第一步：取其中任一小區(qū)間并記為[ , d ]x x x? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 A? 的近似值，記作 d A ； xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b21[ ( ) ( ) ] dbaA f x f x x???二、平面圖形的面積 x xx ??第二步：寫出面積 表達(dá)式。 如何用元素法分析？ ? ? ? ?? ?21ddA f x f x x?＝例 1 計(jì)算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點(diǎn) )1,1()0,0(面積元素 2d ( ) dA x x x??選 為積分變量 x ]1,0[?x1 20 ( ) dA x x x???10333223?????? ?? xx.31?2xy?2yx?例 2 計(jì)算由曲線 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點(diǎn) ).9,3(),4,2(),0,0( ????????23 6xyxxy選 為積分變量 x ]3,2[??x],0,2[)1( ??x 321d ( 6 ) dA x x x x? ? ?],3,0[)2( ?x 232d ( 6 ) dA x x x x? ? ?2xy?xxy 63 ??于是所求面積 21 AAA ??0 322 ( 6 ) dA x x x x?? ? ??3 230 ( 6 )x x x? ? ??.12253?說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式． 問(wèn)題： 積分變量只能選 嗎？ xx y o )(2 yx ??cd)(1 yx ??x y o )( yx ??cd觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積： 考慮選擇 x為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？ ( ) ddcA y y?? ?x y o )(2 yx ??cd)(1 yx ??x y o )( yx ??cd21[ ( ) ( ) ] ddcA y y y?????yyy ??yyy ??觀察下列圖形，選擇合適的積分變量： 考慮選擇 y為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？ 例 3 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????????422xyxy選 為積分變量 y ]4,2[??y2d 4 d2yA y y??? ? ?????4 2 d 18 .AA????xy 22?4??xy例 4 求橢圓 12222?? byax 的面積 .解 橢圓的參數(shù)方程 ?????tbytaxsi nc o s由對(duì)稱性知總
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