經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分函數(shù)的極限(已修改)
2025-09-10 12:44 本頁面
【正文】 一、函數(shù)極限的定義 三、小結(jié) 思考題 二、函數(shù)極限的性質(zhì) 第二節(jié) 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定的數(shù)叫做自變量在這一變化過程中 函數(shù)的極限 。 下面，我們將主要研究以下兩種情形： ；的變化情形對應(yīng)的函數(shù)值任意接近于有限值自變量)(,)()1(00xfxxxx ?；的變化情形對應(yīng)的函數(shù)值無限增大的絕對值自變量)(,)()2(xfxxx?? 問題 : 函數(shù) )( xfy ? 在 0xx ? 的 過程中 , 對應(yīng)函數(shù)值 )( xf 無限 趨近于 確定值 A .。)()( 任意小表示 AxfAxf ????.0 00 的過程表示 xxxx ???? ?x0x??0x ??0x??,0 鄰域的去心點 ?x .0 程度接近體現(xiàn) xx?①定義 1 設(shè)函數(shù) )( xf 在點 0x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義， 對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? , 使得當 x 滿足不等式????00 xx 時，對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足 不等式 ??? Axf )( , 那么常數(shù) A 就叫函數(shù)時的極限當0)( xxxf ? , 記作 )()()(l i m00xxAxfAxfxx????當或 定義 ???.)(,0,0,0 0?????????????Axfxx恒有時使當② 幾何解釋 : )(xfy ???A??AA??0x ??0x0x??xyo .2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線線圖形完全落在以直函數(shù)域時鄰的去心在當??Ayxfyxx??注意： 。)(.1 0 是否有定義無關(guān)在點函數(shù)極限與 xxf..2 有關(guān)與任意給定的正數(shù) ??., ?? 也不需要取到最大的并不唯一顯然例 2 ).(,l i m0為常數(shù)證明 CCCxx ??證 Axf ?)( CC ?? ,成立??,0??任給0? .lim0CCxx ?? ?,0??任取 ,0 0 時當 ???? xx例 3 .l i m 00xxxx ??證明證 ,)( 0xxAxf ???? ,0??任給 ,???取,0 0 時當 ?????? xx0)( xxAxf ??? ,成立?? .lim 00xxxx ?? ?例 4 .211l i m21???? xxx證明證 211)(2????? xxAxf? ,0??任給,???只要取,0 0 時當 ???? xx函數(shù)在點 x=1處沒有定義 . 1?? x,)( ??? Axf要使,2112?????xx就有.211l i m21????? xxx例 5 .lim 00xxxx ?? ?證 0)( xxAxf ????,0??任給},m i n { 00 ??? xx取,0 0 時當 ???? xx00xxxx???,)( ??? Axf要使,0 ??? xx就有,0xx??.00 且不取負值只要 ??? xxx.lim,0: 000xxx xx ?? ?時當證明 (onesided limit): 例如 , .1)(l i m0,10,1)(02??????????xfxxxxxfx證明設(shè)兩種情況分別討論和分 00 ?? xx,0xx 從左側(cè)無限趨近 。0 ?? xx記作,0xx 從右側(cè)無限趨近 。0 ?? xx記作yo x1xy ?? 112 ?? xy左極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時使當右極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時使當}0{}0{}0{:000??????????????xxxxxxxxx?注意.)()(lim 00AxfAxfxx ?? ?? ? 或記作.)()(lim 00AxfAxfxx ?? ?? ? 或記作(righthand limit) (lefthand limit) .)()()(l i m: 000AxfxfAxfxx ???? ???定理.lim0不存在驗證 xxx ? yx11?o xxxxxx???? ?? 00 limlim左右極限存在但不相等 , .)(lim 0 不存在xfx ??例 6 證 1)1(l i m0 ???? ??xxxxxxx ?? ???00limlim 11l i m0 ?? ??x.s in 時的變化趨勢當觀察函數(shù) ??xx x播放 2. 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 問題 : 函數(shù) )( xfy ? 在 ??x 的 過程中 , 對應(yīng)函數(shù)值 )( xf 無限 趨近于 確定值 A .。)()( 任意小表示 AxfAxf ????.的過程表示 ??? xXx.0s in)(, 無限接近于無限增大時當 x xxfx ?通過上面演示實驗的觀察 : 問題 : 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近” . 定義 X??.)(,0,0 ????????? AxfXxX 恒有時使當???? Axfx )(l i m①定義 2 設(shè)函數(shù) )( xf 當 x 大于某一正數(shù)時有定義， 對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ),總存在正數(shù) X , 使得當 x 滿足不等式 Xx ? 時，對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足不等式 ??? Axf )( ,那么常數(shù) A 就叫函數(shù) 時的極限當 ??xxf )( ,記作 )()()(lim ??????xAxfAxfx當或 :.1 0 情形??
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