【正文】 一、平面及其方程 二、直線及其方程 三、小結(jié) 思考題 第四節(jié) 平面與直線 一、平面 (plane)及其方程 (equation) xyzo0M M 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的 法線向量 ． 法線向量的 特征 ： 垂直于平面內(nèi)的任一向量． 已知 },{ CBAn ?? ),( 0000 zyxM設平面上的任一點為 ),( zyxMnMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?n?( normal vector ) 1. 平面的點法式方程 },{ 0000 zzyyxxMM ?????0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA平面的點法式方程 平面上的點都滿足上述方程，不在平面上的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形． 其中法向量 },{ CBAn ?? 已知點 ).,( 000 zyx例 1 求過三點 )4,1,2( ?A 、 )2,3,1( ??B 和)3,2,0(C 的平面方程 .解 }6,4,3{ ???AB}1,3,2{ ???AC取 ACABn ??? },1,9,14{ ??所求平面方程為 ,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx化簡得 .015914 ???? zyx例 2 求過點 )1,1,1( ，且垂直于平面 7??? zyx 和051223 ???? zyx 的平面方程 .},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx化簡得 .0632 ???? zyx所求平面方程為 解 由平面的點法式方程 0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?0???? DCzByAx 平面的一般方程 法向量 }.,{ CBAn ??2. 平面的一般方程 平面一般方程的幾種特殊情況： ,0)1( ?D 平面通過坐標原點； ,0)2( ?A ?????,0,0DD 平面通過 軸； x平面平行于 軸； x,0)3( ?? BA 平面平行于 坐標面； xoy類似地可討論 情形 . 0,0 ???? CBCA0,0 ?? CB類似地可討論 情形 . 例 3 設平面過原點及點 )2,3,6( ? ，且與平面824 ??? zyx 垂直，求此平面方程 .設平面為 ,0???? DCzByAx由平面過原點知 ,0?D由平面過點 )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA,32 CBA ????.0322 ??? zyx所求平面方程為 解 例 4 設平面與 zyx , 三軸分別交于 )0,0,( aP 、)0,0( bQ 、 ),0,0( cR （其中 0?a ， 0?b ， 0?c ），求此平面方程 .設平面為 ,0???? DCzByAx將三點坐標代入得 ???????????,0,0,0DcCDbBDaA? ,aDA ?? ,bDB ?? .cDC ??解 ,aDA ?? ,bDB ?? ,cDC ??將 代入所設方程得 1??? czbyax 平面的截距式方程 x 軸上截距 y 軸上截距 z 軸上截距(intercept form) 例 5 求平行于平面 0566 ???? zyx 而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程 .設平面為 ,1??? czbyaxxyzo,1?V? ,12131 ??? abc由所求平面與已知平面平行得 ,611161cba ??（向量平行的充要條件） 解 ,61161 cba ??化簡得 令 tcba ??? 61161,61ta ?? ,1tb ? ,61tc ?ttt 61161611 ?????代入體積式 ,61?? t,1,6,1 ???? cba.666 ??? zyx所求平面方程為 21)1( ??? 。0212121 ????? CCBBAA21)2( ??// .212121CCBBAA ????相交與 21)3( ??三、兩平面的相互關系 相交程度的反映指標 兩平面的夾角 定義 （通常取銳角） 1?1n?2?2n? ?兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角 . ,0: 11111 ????? DzCyBxA,0: 22222 ????? DzCyBxA},{ 1111 CBAn ??},{ 2222 CBAn ??兩平面的夾角 按照兩向量夾角余弦公式有 222222212121212121 ||co sCBACBACCBBAA?????????兩平面夾角余弦公式 例 6 研究以下各組里兩平面的位置關系： 013,012)1( ???????? zyzyx01224,012)2( ????????? zyxzyx02224,012)3( ????????? zyxzyx解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|c o s ?????? ????????601cos ?? 兩平面相交，夾角 .601ar c c os??)2( },1,1,2{1 ??n? }2,2,4{2 ???n?,212 142 ?????? 兩平面平行 21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?兩平面平行但不重合． )3( ,2 12 142 ??????21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?兩平面平行 兩平面重合 . ? 設 ),( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz 外一點，求 0P 到平面的距離 . ??? ),( 1111 zyxP|Pr| 01 PPjd n??1P Nn?0P?00101Pr nPPPPj n ??},{ 10101001 zzyyxxPP ????4. 點到平面的距離 (distance) 分析 ????????????? 2222222220 ,CBACCBABCBAAn00101Pr nPPPPj n ???222102221022210 )()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA????????????,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????0111 ???? DCzByAx? )( 1 ??P?01Pr PPj n? ,222 000 CBA DCzByAx ?? ???.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ?????點到平面距離公式 二、直線 (straight line)及其方程 xyzo方向向量 ( direction vector )的定義 如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的 方向向量 ． s? L),( 0000 zyxM0M?M?,LM ??),( zyxMsMM ?0 // },{ pnms ?? },{ 0000 zzyyxxMM ???? ???????????ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程 直線的對稱式方程 (symmetric equation) 方向向量的余弦稱為直線的 方向余弦 . tp zzn yym xx ?????? 000令 直線的一組 方向數(shù) (parametric equation) 例 7 一直線過點 )4,3,2( ?A ，且和 y 軸垂直相 交，求其方程 . 解 因為直線和 y 軸垂直相交 , 所以交點為 ),0,3,0( ?B取 BAs ?? },4,0,2{?所求直線方程 .4 40 32 2 ????? zyxxyzo1?2?定義 空間直線可看成兩平面的交線． 0: 11111 ????? DzCyBxA0: 22222 ????? DzCyBxA???????????0022221111DzCBxADzCyBxA空間直線的一般方程 L 例 8 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 .0432 01???????????zyxzyx解 在直線上任取一點 ),( 000 zyx取 10 ?x ,063020000?????????? zyzy解得 2,0 00 ??? zy點坐標 ),2,0,1( ?因所求直線與兩平面的法向量都垂直 取 21 nns ??? ?? },3,1,4{ ???對稱式方程 ,3 21 04 1 ??????? zyx參數(shù)方程 .3241????????????tztytx ⑴ 2L其中 1L⑴ 與 共面 ? ? 0,2121 ?ssMM?2L1L與 為異面直線 ?⑵ ? ? 0,2121 ?ssMM為 為 ? ?1111 , zyxM? ?2222 , zyxM其中 1L 上的點， 上的點。 2L兩直線的特殊位置關系判定： 21)1( LL ? ,0212121 ????? p