經(jīng)濟數(shù)學微積分定積分的換元法(已修改)
2024-09-05 16:42 本頁面
【正文】 一、換元公式 二、小結(jié) 思考題 第四節(jié) 定積分的換元法 定理 假設(shè)（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)；（ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（ 3 ）當 t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 ( ) d [ ( ) ] ( ) dba f x x f t t t?? ?????? . 一、換元公式 證 設(shè) )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，( ) d ( ) ( ) ,ba f x x F b F a???) ] ,([)( tFt ???dd()ddFxtxt?? ? ? )()( txf ? ? ),()]([ ttf ? ???[ ( ) ] ( ) d ( ) ( ) ,f t t t?? ? ? ? ?? ? ? ? ??)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) .a?)(?? 、 b?)( ?? ,)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??),()( aFbF ??( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a??? )()( ?? ????[ ( ) ] ( ) d .f t t t?? ?? ?? ?注意 當 ?? ? 時，換元公式仍成立 .例 1 計算 2 50 c o s sin d .x x x??解 令 ,c os xt ?2??x ,0?? t 0?x ,1?? t2 50 c o s sin dx x x??0 51 dtt?? ?1066t?.61?s in d ,d t x x??應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意（一） : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) )( t? 后，不必象計算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時，積分限也 相應(yīng)的改變 . （ 3） 用第一類換元法即湊微分法解定積分時可以不換元，當然也就不存在換上下限的問題了 . 又解例 1 計算 2 50 c os sin d .x x x??π2 50 c os sin dx x x?解 ? ?π2 50 c o s d c o sxx?? ?.61?π2 50 c o s sin d .x x x?xt cos?0 51 dtt?? ?1066t?.61?π2601 c os6x????????例 2 計算 解 π 350 sin sin d .x x x??xxxf 53 s i ns i n)( ?? ? ? 23si nc o s xx?π 350 sin sin dx x x??? ? ?3π20 c o s sin dx x x? ?? ?π 32 20 c o s sin dx x x? ? ? ? 3π 2π2c os s i n dx x x? ?? ?π 32 20 sin d sinxx? ? ? ? 3π 2π2si n d si nxx? ?? ? 2025s i n52?? x ? ????225s i n52 x.54?例 3 計算 解 34 d.ln ( 1 ln )eexx x x??原式 34 d ( ln )ln ( 1 ln )eexxx???34 d ( ln )ln ( 1 ln )eexxx???342d ln21 ( ln )eexx???? ? 43)lna r c si n(2 e ex? .6??例 4 計算 解 2201 d . ( 0 )a xax a x????令 ,s in tax ?ax? ,2??? t 0?x ,0?? td c o s d ,x a t t?原式 π2220c os dsin ( 1 sin )at ta t a t????π20c os dsi n c ost ttt? ??π201 c os si n1d2 si n c ostt ttt??????? ????? ? 20c o ss i nln21221 ?????? ??應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意（二） : （ 1） 對分段函數(shù)和含絕對值 號的積分，計算時必須分區(qū)間進行； . （ 2） 用換元法解題時，要注意看換元積分公式的內(nèi)容； （ 3） 對被積函數(shù)進行適當變形時，要注意符號問題。 12111 .1 d x xxt? ???考 察 ， 令不可以！ 例 5 當 )( xf 在 ],[ aa? 上連續(xù)，且有 ① )( xf 為偶函數(shù)，則 0( ) d 2 ( ) daaaf x x f x x???? ； ② )( xf 為奇函數(shù)，則 ( ) d 0aaf x x??? . 證 00( ) d ( ) d ( ) d ,aaf x x f x x f x x?? ??? ? ?在 0 ( ) da f x x?? 中令 tx ?? , 0 ( ) da f x x? ??0 ( ) da f t t? ? ?? 0 ( ) d ,a f t t??① )( xf 為偶函數(shù)，則 ),()( tftf ??00( ) d ( ) d ( ) daaf x x f x x f x
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