經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理(已修改)
2024-09-15 12:46 本頁面
【正文】 一、羅爾定理 二、拉格朗日中值定理 四、小結(jié) 思考題 三、柯西中值定理 第一節(jié) 中值定理 一、羅爾 (Rolle)定理 羅爾（ R olle ）定理 如果函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù) , 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) , 且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 )()( bfaf ? , 那末在),( ba 內(nèi)至少有一點(diǎn) )( ba ???? , 使得函數(shù))( xf 在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即 0)(39。??f )1()2( )3(例如 , 32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx,]3,1[ 上連續(xù)在 ? ,)3,1( 上可導(dǎo)在 ? ,0)3()1( ??? ff且))3,1(1(,1 ????取 .0)( ???f ),1(2)( ??? xxf?點(diǎn)擊圖片任意處播放 \暫停 物理解釋 : 變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處 , 瞬時(shí)速度等于零 . 幾何解釋 : a b1? 2? xyo)( xfy ?.,的切線是水平的在該點(diǎn)處少有一點(diǎn)上至在曲線弧CABCA B 證 .)1( mM ?若,],[)( 連續(xù)在 baxf? .mM 和最小值必有最大值.)( Mxf ?則.0)( ?? xf由此得 ),( ba??? .0)( ???f都有.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??.取得最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)?),( afM ?設(shè).)(),( Mfba ??? 使內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在),()( ????? fxf? ,0)()( ??????? fxf,0?? x若 。0)()( ?? ????? x fxf則有,0?? x若 。0)()( ?? ????? x fxf則有。0)()(lim)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x。0)()(lim)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f? ).()( ?????? ?? ff.0)( ???? f只有注意 :若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足 ,其結(jié)論可能不成立 . 例如 , ]。2,2[, ??? xxy,)0(]2,2[的一切條件滿足羅爾定理不存在外上除在 f ??.0)(2][ 2?? xf使內(nèi)找不到一點(diǎn)能，但在區(qū)間。0,0 ]1,0(,1???????xxxy].1,0[, ?? xxy又例如 , 例 1 .10155的正實(shí)根有且僅有一個(gè)小于證明方程 ??? xx證 : ,15)( 5 ??? xxxf設(shè) ,]1,0[)( 連續(xù)在則 xf.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理 .0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即為方程的小于 1的正實(shí)根 . ,),1,0( 011 xxx ??設(shè)另有 .0)( 1 ?xf使,)( 10 件之間滿足羅爾定理的條在 xxxf?使得之間在至少存在一個(gè) ),( 10 xx?? .0)( ???f)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x矛盾 , .為唯一實(shí)根?二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f ( x ) (1) 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù) , (2) 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) , 那末在 ),( ba內(nèi)至少有一點(diǎn) )( ba ???? ，使等式 ))(()()(39。abfafbf ???? 成立 . ).()(: bfaf ?去掉了與羅爾定理相比條件中注意).()()( ????? fab afbf結(jié)論亦可寫成(Lagrange’s Meanvalue Theorem) a b1? 2?x xoy)( xfy ?ABCDNM幾何解釋 : .,ABCAB切線平行于弦在該點(diǎn)處的少有一點(diǎn)上至在曲線弧證 分析 : ).()( bfaf ?條件中與羅爾定理相差弦 AB方程為 ).()()()( axab afbfafy ?????,)( ABxf 減去弦曲線., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線 ba作輔助函數(shù) ) ] .()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????,)( 滿足羅爾定理的條件xF.0)(,),( ???? Fba 使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在0)()()( ?????? ab afbff即).)(
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