經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分空間曲線及其方程(已修改)
2025-09-10 12:38 本頁面
【正文】 一、空間曲線及其方程 二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 三、小結(jié) 思考題 第六節(jié) 空間曲線及其方程 一、空間曲線及其方程 ?????0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程 . xozy1S2SC空間曲線 C可看作空間兩曲面的交線 . 特點 ： 1. 曲線 (curve)的一般方程 例 1 方程組 表示怎樣的曲線？ ????????6332122zyxyx解 122 ?? yx 表示圓柱面， 6332 ??? zyx 表示平面， ????????6332122zyxyx交線為橢圓 . 例 2 方程組 表示怎樣的曲線？ ???????????4)2(222222ayaxyxaz解 222 yxaz ???上半球面 , 4)2(222 ayax ??? 圓柱面 , 交線如圖 . ????????)()()(tzztyytxx 當(dāng)給定 1tt ? 時，就得到曲線上的一個點),( 111 zyx ，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點 .空間曲線的參數(shù)方程 2. 曲線的參數(shù)方程 動點從 A點出發(fā)，經(jīng)過 t時間，運動到 M點 例 3 如果空間一點 M 在圓柱面 222 ayx ?? 上以角速度 ? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度 v 沿平行于 z 軸的正 向上升（其中 ? 、 v 都是常 數(shù) ） ，那么點 M 構(gòu)成的圖形叫做 螺旋線 ．試建立其參數(shù)方程． A?MM?M 在 xoy 面的投影 )0,( yxM ?tax ?c o s?tay ?s in?vtz?t?螺旋線的參數(shù)方程 取時間 t為參數(shù)， 解 x yzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 ???????????bzayaxs i nc os),( ??? vbt ??螺旋線的重要 性質(zhì) ： ,: 00 ???? ?? ,: 00 ??? bbbz ??上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比． 即 上升的高度 ?? bh 2 螺距 ? ,2???????0),(0),(zyxGzyxF消去變量 z后得： 0),( ?yxH曲線關(guān)于 的 投影柱面 xoy設(shè)空間曲線的一般方程： 以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面 . 投影柱面的 特征 ： 二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 如圖 :投影曲線的研究過程 . 空間曲線 投影曲線 投影柱面 類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 ?????00),(xzyR?????00),(yzxT面上的 投影曲線 , yoz 面上的 投影曲線 , xoz?????00),(zyxH空間曲線在 面上的 投影曲線 xoy例 4 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影 . ?????????211222zzyx解 （ 1）消去變量 z后得 ,4322 ?? yx在 面上的投影為 xoy,04322????????zyx所以在 面上的投影為線段 . xoz。23||,021????????xyz（ 3）同理在 面上的投影也為線段 . yoz.23||,021????????yxz（ 2）因為曲線在平面 上， 21?z例 5 求拋物面 xzy ?? 22 與平面 02 ??? zyx 的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程 .截線方程為 ????????02
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