【微積分】曲線的凹凸與拐點(diǎn)(已修改)
2025-08-03 11:18 本頁(yè)面
【正文】 定義 設(shè) 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù) , (1) 若恒有 則稱(chēng)曲線 在區(qū)間 I 內(nèi)是 下凸 的 (或稱(chēng) 凹弧 )。 (2) 若恒有 則稱(chēng)曲線 在區(qū)間 I 內(nèi)是 上凸 的 (或稱(chēng) 凸弧 ) . yox2x1x2 21xx ?yox1x2 21xx ?2x二、曲線的凹凸性及其判別法 曲線凹凸的判定 xyo)( xfy ?xyo)( xfy ?a bAB遞增)( xf ?a bBA遞減)( xf ?定理 1 設(shè) ,)( ?? xf在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo) , ,)( ?? xf若在 I 內(nèi) 則曲線 y = f (x)在 I 內(nèi)是下凸的 。 若在 I 內(nèi) 則曲線 y = f (x)在 I 內(nèi)是上凸的 . 證明 ,)( 內(nèi)單調(diào)增加在設(shè) Ixf ? , 21 Ixx ??,21 xx ?不妨設(shè))2,(,2)()2()( 2111121211 xxxxxfxxfxf ???????? ??),2(,2)()2()( 2212122212 xxxxxfxxfxf ???????? ??2)]()([)2(2)()(12122121xxffxxfxfxf ????????? ??則 故曲線 y = f (x)在 I 內(nèi)是下凸的 . 0)()()( 12 ?????? ?? ffIxf 內(nèi)單調(diào)增加在由)2(2 )()( 2121 xxfxfxf ????例 1 .3 的凹凸性判斷曲線 xy
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