【正文】 主要內(nèi)容 典型例題 習(xí) 題 課 第二章 極 限 （一）極限的概念 （二）連續(xù)的概念 一、主要內(nèi)容 左右極限 兩個(gè)重要 極限 求極限的常用方法 無窮小 的性質(zhì) 極限存在的 充要條件 判定極限 存在的準(zhǔn)則 無窮小的比較 極限的性質(zhì) 數(shù)列極限 函 數(shù) 極 限 axnn ???lim Axfxx ?? )(lim 0 Axfx ??? )(lim等價(jià)無窮小 及其性質(zhì) 唯一性 無窮小 0)(lim ?xf兩者的 關(guān)系 無窮大 ??)(lim xf.,0,0 ?? ??????? axNnN n恒有時(shí)使1. 極限的定義 定義 N??定義① 如果對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它 多么小 ), 總存在正整數(shù) N , 使得對于 Nn ? 時(shí) 的一切nx , 不等式 ??? axn都成立 , 那末就稱 常數(shù) a 是數(shù)列nx 的極限 , 或者稱數(shù)列 nx 收斂 于 a , 記為 ,l i m axnn??? 或 ).( ??? naxn 定義 ② 設(shè)函數(shù) )( xf 在點(diǎn) 0x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義， 對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? , 使得當(dāng) x 滿足不等式????00 xx 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足 不等式 ??? Axf )( , 那么常數(shù) A 就叫函數(shù)時(shí)的極限當(dāng)0)( xxxf ?, 記作 )()()(l i m00xxAxfAxfxx????當(dāng)或 定義 ???.)(,0,0,0 0?????????????Axfxx恒有時(shí)使當(dāng)左極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時(shí)使當(dāng)右極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時(shí)使當(dāng).)0()(l im 0)(000AxfAxfxxxx???????或記作.)0()(l im 0)(000AxfAxfxxxx???????或記作.)0()0()(lim: 000AxfxfAxfxx ???????定理定義 X??.)(,0,0 ????????? AxfXxX 恒有時(shí)使當(dāng)???? Axfx )(l i m定義 ③ 設(shè)函數(shù) )( xf 當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義， 對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) X , 使得當(dāng) x 滿足不等式 Xx ? 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足不等式 ??? Axf )( , 那么常數(shù) A 就叫函數(shù) 時(shí)的極限當(dāng) ??xxf )( , 記作 )()()(l i m ??????xAxfAxfx當(dāng)或 :.1 0 情形???x.)(,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有時(shí)使當(dāng):.2 0 情形???x ????? Axfx )(lim.)(,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有時(shí)使當(dāng)????? Axfx )(lim★ 另兩種情形 : ???? Axfx )(lim:定理 .)(l i m)(l i m AxfAxf xx ?? ?????? 且無窮小 : 極限為零的變量稱為 無窮小 . ).0)(lim(0)(lim0?? ??? xfxf xxx 或記作絕對值無限增大的變量稱為 無窮大 . 無窮大 : ).)(lim()(lim0???? ??? xfxf xxx 或記作在同一過程中 ,無窮大的倒數(shù)為無窮小 。恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 . 無窮小與無窮大的關(guān)系 2. 無窮小與無窮大 定理 1 在同一過程中 ,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小 . 定理 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 1 在同一過程中 ,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小 . 無窮小的運(yùn)算性質(zhì) 定理 .0,)()(l im)3(。)]()(l im [)2(。)]()(l im [)1(,)(l im,)(l im??????????BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中則設(shè)推論 1 ).(l im)](l im [,)(l imxfcxcfcxf?則為常數(shù)而存在如果.)]([ l im)](l im [,)(l imnn xfxfnxf?則是正整數(shù)而存在如果推論 2 3. 極限的性質(zhì) 4. 求極限的常用方法 。 。 。 。 . 準(zhǔn)則 Ⅰ′ 如果當(dāng) ),(00rxUx ? ( 或 Mx ? ) 時(shí) , 有,)(l im,)(l im)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx??????????那末 )(l im)(0xfxxx???存在 , 且等于 A .5. 判定極限存在的準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 Ⅱ 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 .(夾逼準(zhǔn)則 ) (1) 1s inl im0?? xxx(2) exxx????)11(l imex xx???10)1(l im。1s inlim ?? ?某過程.)1(lim1e?? ??某過程6. 兩個(gè)重要極限 )。(,0li m)1(????????o記作高階的無窮小是比就說如果定義 : .0, ???? 且窮小是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)。),0(lim)2( 是同階的無窮小與就說如果 ?????? CC。~。,1li m???????記作是等價(jià)的無窮小與則稱如果特殊地7. 無窮小的比較 定理 (等價(jià)無窮小替換定理 ) .li mli m,li m~,~ ? ?? ????? ?? ?? ??? ?? 則存在且設(shè).),0,0(lim)3(無窮小階的是是就說如果 kkCCk ???????定理 若 )(l im xf 存在 , 則極限唯一 .8. 等價(jià)無窮小的性質(zhì) 9. 極限的唯一性 左右連續(xù) 在區(qū)間 [a,b] 上連續(xù) 連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì) 初等函數(shù) 的連續(xù)性 間斷點(diǎn)定義 連 續(xù) 定 義 0lim0 ???? yx )()(l im 00 xfxfxx ??連續(xù)的 充要條件 連續(xù)函數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì) 非初等函數(shù) 的連續(xù)性 振蕩間斷點(diǎn) 無窮間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 第一類 第二類 定義 1 設(shè)函數(shù) )( xf 在點(diǎn)0x 的某一鄰域內(nèi)有定義 ,如果當(dāng)自變量的增量 x? 趨向于零時(shí) , 對應(yīng)的函數(shù)的增量 y? 也趨向于零 , 即0l i m0????yx 或 0)]()([l i m000??????xfxxfx那末就稱函數(shù) )( xf 在點(diǎn)0x 連續(xù) ,0x 稱為 )( xf 的連續(xù)點(diǎn) .1. 連續(xù)的定義 ).()(li m2 00xfxfxx ??定義定理 .)()( 00既左連續(xù)又右連續(xù)處在是函數(shù)處連續(xù)在函數(shù) xxfxxf ?.)(),()0(,),[)(0000處右連續(xù)在點(diǎn)則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfbxxf ??3. 連續(xù)的充要條件 2. 單側(cè)連續(xù) 。)(),()0(,],()(0000處左連續(xù)在點(diǎn)則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfxaxf ??:)( 0 條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)函數(shù) xxf。)()1( 0 處有定義在點(diǎn) xxf。)(li m)2(0存在xfxx ?).()(lim)3( 00xfxfxx ??).()(),()(,00或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為并稱點(diǎn)或間斷處不連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)則稱要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf4. 間斷點(diǎn)的定義 (1) 跳躍間斷點(diǎn) .)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)則稱點(diǎn)但存在右極限都處左在點(diǎn)如果xfxxfxfxxf???(2)可去間斷點(diǎn) .)()(),()(l i m,)(00000的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)義則稱點(diǎn)處無定在點(diǎn)或但處的極限存在在點(diǎn)如果xfxxxfxfAxfxxfxx???5. 間斷點(diǎn)的分類 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為 第一類間斷點(diǎn) . 特點(diǎn) : .,0 右極限都存在處的左函數(shù)在點(diǎn) x可去型 第一類間斷點(diǎn) 跳躍型 0 y x 0x0 y