【正文】 的定義 (1) 跳躍間斷點 .)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點為函數(shù)則稱點但存在右極限都處左在點如果xfxxfxfxxf???(2)可去間斷點 .)()(),()(l i m,)(00000的可去間斷點為函數(shù)義則稱點處無定在點或但處的極限存在在點如果xfxxxfxfAxfxxfxx???5. 間斷點的分類 跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為 第一類間斷點 . 特點 : .,0 右極限都存在處的左函數(shù)在點 x可去型 第一類間斷點 跳躍型 0 y x 0x0 y x 0x0 y x 無窮型 振蕩型 第二類間斷點 0 y x 0x第二類間斷點 .)(,)(00類間斷點的第二為函數(shù)則稱點至少有一個不存在右極限處的左在點如果xfxxxf.],[)(,),(上連續(xù)在閉區(qū)間函數(shù)則稱處左連續(xù)在右端點處右連續(xù)并且在左端點內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba??6. 閉區(qū)間的連續(xù)性 7. 連續(xù)性的運算性質(zhì) 定理 .)0)(()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點則處連續(xù)在點若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf???定理 1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) . 定理 2 )].(l i m[)()]([l i m,)(,)(l i m000xfafxfaufaxxxxxxx?????????則有連續(xù)在點函數(shù)若8. 初等函數(shù)的連續(xù)性 .)]([,)(,)(,)(00000也連續(xù)在點則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點而函數(shù)且連續(xù)在點設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu??????????定理 3 定理 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 . 定理 5 一切初等函數(shù)在其 定義區(qū)間 內(nèi)都是連續(xù)的 . 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 . 9. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 1(最大值和最小值定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 . 定理 上連續(xù)，且 那末在開區(qū)間 點 3( 零點定理 ) 設(shè)函數(shù) ) ( x f 在閉區(qū)間 [ ] b a , ) ( a f 與 ) ( b f 異號 ( 即 0 ) ( ) ( ? b . f a f ), ( ) b a , 內(nèi)至少有函數(shù) ) ( x f 的一個零 , 即至少有一點 x ) ( b a ? x ? ，使 0 ) ( ? x f . 定理 2(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 . 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M與最小值 m之間的任何值 . 定理 4( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) ) ( x f 在閉區(qū)間 [ ] b a , 上 連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 A a f ? ) ( 及 B b f ? ) ( , 那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) C ，在開區(qū)間 ( ) b a , 內(nèi)至少有一點 x ，使得 c f ? x ) ( ) ( b a ? x ? . ).1()1)(1)(1(l i m,1242 nxxxxxn????????求時當(dāng)2. .)s i n1t a n1(lim 310xx xx???求).(,1)(l i m,2)(l i m,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多項式設(shè)??????1. 3. 典型例題 .1,2c o s1,1)( 的連續(xù)性討論??????????xxxxxf).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(xxx ffffxf????使得證明必有一點且上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè)( )( ) ( ) .21212.lim2126543212nnnxnnx nnn??????????提示，利用，求設(shè) ?6. 4. 5. 典型例題解答 ).1()1)(1)(1(l i m,1242 nxxxxxn????????求時當(dāng)1. 解 將分子、分母同乘以因子 (1x), 則 xxxxxx nn ????????? 1)1()1)(1)(1)(1(l i m 242 ?原式xxxxx nn ???????? 1)1()1)(1)(1(l i m 2422 ?xxx nnn ?????? 1)1)(1(lim 22xx nn ??? ??? 11l i m 12.1 1 x?? .)0l i m,1( 12 ?? ???nxxn時當(dāng)?.)s i n1 t a n1(lim 310xx xx???求解 解法討論 則設(shè) ,)(lim,0)(lim ??? xgxf)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf ??? )]()[(l i m xfxge ??.)()(l i m xfxge ?? ))(~)](1l n [( xfxf ???2. 310)]1s i n1 t a n1(1[l i m xx xx ??????原式310]si n1 si nt a n1[lim xx xxx?????301si n1si nt a nl i mxxxxx?? ??? 30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nl i m xxx xxx ?? ?? ?xxxxxxx c o s)si n1(1c o s1si nl i m20 ?????? ??21.21e?? 原式).(,1)(l i m,2)(l i m,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多項式設(shè)??????解 ,2)(l i m23???? xxxpx?),(2)( 23 為待定系數(shù)其中可設(shè) babaxxxxp ?????,1)(l i m0?? xxpx?又)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp.1,0 ?? ab從而得 xxxxp ??? 23 2)(故3. ( )( ) ( ) .21212.lim2126543212nnnxnnx nnn???????????提示，利用，求設(shè) ?4. 解 .0l i m0l i m0121l i m121022???????????????nnnnnnxxnnx，由夾逼準(zhǔn)則知，，又，.1,2c o s1,1)( 的連續(xù)性討論?????????xxxxxf ?解 改寫成將 )( xf?????????????????1,111,2co s1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()( 內(nèi)連續(xù)在由初等函數(shù)性質(zhì)知，??????xf5. ,1時當(dāng) ??x???? )(l i m1 xfx ????? )1(lim 1 xx .2???? )(l i m1 xfx ????? 2coslim 1 xx .0)(lim)(lim 11 xfxf xx ?? ???? ??.1)( 間斷在故 ??xxf,1時當(dāng) ?x??? )(lim 1 xfx ???? 2cosl i m1 xx .0??? )(lim 1 xfx ???? )1(l i m1 xx .0)(l i m)(l i m 11 xfxf xx ?? ?? ??.1)( 連續(xù)在故 ?xxf.),1()1,()( 連續(xù)在 ??????? ?xf).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(xxx ffffxf????使得證明必有一點且上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè)證明 ),()21()( xfxfxF ???令.]21,0[)( 上連續(xù)在則 xF),0()21()0( ffF ??? ),21()1()21( ffF ??討論 : ,0)0( ?F若 ,0?x則 )。21()2121( ff ??6. 則若 ,0)21(,0)0( ?? FF?? )21()0( FF 2)]0()21([ ff ?? .0?由零點定理知 , .0)(),21,0( ??? xx F使.)()21( 成立即 xx ff ??綜上 , ],1,