【正文】 第二節(jié) 向量及其線性運算 一、向量及其幾何表示 二、向量的坐標表示 三、向量的模與方向角 四、向量的線性運算 五、向量的分向量表示式 六、小結 思考題 向量 (vector)： 既有大小又有方向的量 . 向量表示： 以 1M 為起點， 2M 為終點的有向線段 .1M2M??a? 21MM一、向量及其幾何表示 或 向徑： 空間直角坐標系中任一點 與原點構成的向量 . OMM自由向量： 不考慮起點、終點位置的向量 . 相等向量： 大小相等且方向相同的向量 . 負向量： 大小相等但方向相反的向量，記為 . a??a? b?a?? a?空間兩向量的夾角的概念： ,0?? ?a ,0?? ?ba?b??向量 a? 與向量 b? 的夾角),( ba ???? ),( ab ???類似地，可定義 向量與一軸 或 空間兩軸 的夾角 . 特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在 0與 之間任意取值 . ??? ?0( )? 二、向量的坐標表示 ),(),( 00000zyxMzyxMaMM，終點起點代表向量設有向線段0xxa x ??0yya y ??0zza z ??向量在 x軸上的投影 向量在 y軸上的投影 向量在 z軸上的投影 Oxyz?0M ?Myaxazaxyzo?0M ?M? ??由圖分析可知 ?c os|| 0 MMa x ??co s|| 0 MMa y ??c o s|| 0 MMa z ?通常用來表示向量的 方向 . 222 zyx aaa ?? 表示向量的 長度 yaxaza? 、 ? 、 ? zyx aaa ,有序數組MM 0有向線段 ??? ?? 一一對應向量的 坐標表達式 ： },{ zyx aaaa ??特殊地： },{ zyxOM ?},{ 0000 zzyyxxMM ????三、向量的模 (modulus)與方向角 模長為 1的向量，記為 ||a? 21MM| | 向量的模（ 大小） ： 單位向量 (unit vector) ： 或 21MM 0或 0a222zyx aaaa ???||?o?xyz?0M?M非零向量 的 方向角 (direction angle)： a?非零向量與三條坐標軸的正向的夾角 . ? 、 ? 、 ?,0 ????,0 ????.0 ??????yaxaza0222 ??? zyx aaa當 時， ,co s222zyxxaaaa????,c o s 222zyxyaaaa????.c o s 222zyxzaaaa????向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地 單位向量與方向余弦的關系為 : }c o s,c o s,{c os0 ????a例 1 設有向量 21 PP，已知 221 ?PP，它與 x 軸和 y 軸的夾角分別為 3?和 4?，如果1P的坐標為)3,0,1( ，求 2P 的坐標 . 解 設向量 21 PP 的方向角為? 、 ? 、 ?,3??? ,4???,1c o sc o sc o s 222 ??????? .21cos ????,21cos ?? ,22c o s ??.32,3 ??????? 設 2P 的坐標為 ),( zyx ,1c os ?? x?21PP 21?? x2? ,2?? x0c os ?? y?21PP 20?? y22? ,2?? y3c os ?? z?21PP 23?? z ,2,4 ??? zz2P 的坐標為 ).2,2,2(),4,2,2(21??四、向量的線性運算 1. 向量的加法 cba ??? ?? a?b? c?（平行四邊形法則） 特殊地：若 a?‖ b?a? b? c? |||||| bac ??? ??分為同向和反向 b?a? c? |||||| bac ??? ??（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則） 向量的加法符合下列運算規(guī)律： （ 1）交換律： .abba ???? ???（ 2）結合律： cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???（ 3） .0)( ??? ??? aa(mutativity) (associativity) 注：向量的減法 )( baba ???? ????a?b?b??b??c?ba ???ba ???a?b? 平行四邊形法則 ?c?三角形法則 向量加減法的坐標表達式 },{ zyx aaaa ??},{ zyx bbbb ??},{ zzyyxx babababa ????? ??},{ zzyyxx babababa ????? ??設 ? 是一個數，向量 a? 與 ? 的乘積 a?? 規(guī)定為,0)1( ?? a?? 與 a? 同向， |||| aa ?? ?? ?,0)2( ?? 0?? ?a?,0)3( ?? a?? 與 a? 反向， |||||| aa ?? ?? ??a? a?2 a?21?二、向量與數的乘法（數乘） 數與向量的乘積符合下列運算規(guī)律： （ 1）結合律： )()( aa ?? ???? ? a?)(???（ 2）分配律： aaa ??? ???? ??? )(baba ???? ??? ??? )(},{ zyx aaaa ??},{ zyx aaaa ???? ??向量與數的乘法的坐標表達式 || aa???特殊地，一向量與其單位向量的關系為 0a.0ababa??????? ??，使是：存在唯一的實數的充分必要條件平行于那末向量，設向量兩個向量的平行關系 定理 證明 充分性顯然； 必要性 a?‖ b?設 ,ab????取取正值，同向時與當 ?ab ??取負值，反向時與當 ?ab ?? .ab ?? ??即有.同向與此時 ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aab ???? .b??.的唯一性? ，設 ab ?? ?? ，又設 ab ?? ??兩式相減，得 ，0)( ?? ?? a?? ，即 0?? a???，0?a?? ，故 0?? ?? .?? ?即解 },{ 111 zzyyxxAM ????},{ 222 zzyyxxMB ????設 ),( zyxM 為直線上的點， 例 2 設 ),(111zyxA 和 ),(222zyxB 為兩已知點，而在 AB 直線上的點 M 分有向線段 AB 為兩部分 AM 、 MB ，使它們的值的比等于某數)1( ???? ，即 ??MBAM，求分點的坐標 .ABMxyzo由題意知： MBAM ??},{ 111 zzyyxx ??? },{ 222 zzyyxx ???? ?1xx ? )( 2 xx ?? ?1yy ? )( 2 yy ?? ?1zz ? )( 2 zz ?? ?,1 21 ?????? xxx,1 21 ?????? yyy,1 21 ?????? zzzM 為有向線段 AB 的 定比分點 .M 為中點時，,2 21 xxx ?? ,2 21 yyy ?? .2 21 zzz ??五、向量的分向量表示式 以 kji ??? , 分別表示沿 zyx , 軸正向的單位向量 .xyzo?0M?Mi? j?k?yaxaza表示向量在 x、 y、 z軸上的投影 . kajaiazyx??? 和，例 3 求平行于向量 kjia????676 ??? 的單位向量的分解式 .解 所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向 a?222 )6(76|| ????a?? ,11?|| aa???0a? ,116117116 kji ??? ???或 0a || aa???? .116117116 kji ??? ????例 4 設 kjim????853 ??? ， kjin????742