經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分向量及其線性運(yùn)算-全文預(yù)覽
【正文】 dulus)與方向角 模長(zhǎng)為 1的向量，記為 ||a? 21MM| | 向量的模（ 大?。?： 單位向量 (unit vector) ： 或 21MM 0或 0a222zyx aaaa ???||?o?xyz?0M?M非零向量 的 方向角 (direction angle)： a?非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角 . ? 、 ? 、 ?,0 ????,0 ????.0 ??????yaxaza0222 ??? zyx aaa當(dāng) 時(shí)， ,co s222zyxxaaaa????,c o s 222zyxyaaaa????.c o s 222zyxzaaaa????向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地 單位向量與方向余弦的關(guān)系為 : }c o s,c o s,{c os0 ????a例 1 設(shè)有向量 21 PP，已知 221 ?PP，它與 x 軸和 y 軸的夾角分別為 3?和 4?，如果1P的坐標(biāo)為)3,0,1( ，求 2P 的坐標(biāo) . 解 設(shè)向量 21 PP 的方向角為? 、 ? 、 ?,3??? ,4???,1c o sc o sc o s 222 ??????? .21cos ????,21cos ?? ,22c o s ??.32,3 ??????? 設(shè) 2P 的坐標(biāo)為 ),( zyx ,1c os ?? x?21PP 21?? x2? ,2?? x0c os ?? y?21PP 20?? y22? ,2?? y3c os ?? z?21PP 23?? z ,2,4 ??? zz2P 的坐標(biāo)為 ).2,2,2(),4,2,2(21??四、向量的線性運(yùn)算 1. 向量的加法 cba ??? ?? a?b? c?（平行四邊形法則） 特殊地：若 a?‖ b?a? b? c? |||||| bac ??? ??分為同向和反向 b?a? c? |||||| bac ??? ??（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則） 向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律： （ 1）交換律： .abba ???? ???（ 2）結(jié)合律： cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???（ 3） .0)( ??? ??? aa(mutativity) (associativity) 注：向量的減法 )( baba ???? ????a?b?b??b??c?ba ???ba ???a?b? 平行四邊形法則 ?c?三角形法則 向量加減法的坐標(biāo)表達(dá)式 },{ zyx aaaa ??},{ zyx bbbb ??},{ zzyyxx babababa ????? ??},{ zzyyxx babababa ????? ??設(shè) ? 是一個(gè)數(shù)，向量 a? 與 ? 的乘積 a?? 規(guī)定為,0)1( ?? a?? 與 a? 同向， |||| aa ?? ?? ?,0)2( ?? 0?? ?a?,0)3( ?? a?? 與 a? 反向， |||||| aa ?? ?? ??a? a?2 a?21?二、向量與數(shù)的乘法（數(shù)乘） 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律： （ 1）結(jié)合律： )()( aa ?? ???? ? a?)(???（ 2）分配律： aaa ??? ???? ??? )(baba ???? ??? ??? )(},{ zyx aaaa ??},{ zyx aaaa ???? ??向量與數(shù)的乘法的坐標(biāo)表達(dá)式 || aa???特殊地，一向量與其單位向量的關(guān)系為 0a.0ababa??????? ??，使是：存在唯一的實(shí)數(shù)的充分必要條件平行于那末向量，設(shè)向量?jī)蓚€(gè)向量的平行關(guān)系 定理 證明 充分性顯然； 必要性 a?‖ b?設(shè) ,ab????取取正值，同向時(shí)與當(dāng) ?ab ??取負(fù)值，反向時(shí)與當(dāng) ?ab ?? .ab ?? ??即有.同向與此時(shí) ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aab ???? .b??.的唯一性? ，設(shè) ab ?? ?? ，又設(shè) ab ?? ??兩式相減，得 ，0)( ?? ?? a?? ，即 0?? a???，0?a?? ，故 0?? ?? .?? ?即解 },{ 111 zzyyxxAM ????},{ 222 zzyyxxMB ????設(shè) ),( zyxM 為直線上的點(diǎn)， 例 2 設(shè) ),(111zyxA 和 ),(222zyxB 為兩已知點(diǎn)，而在 AB 直線上的點(diǎn) M 分有向線段 AB 為兩部分 AM 、 MB ，使它們的值的比等于某數(shù))1( ???? ，即 ??MBAM，求分點(diǎn)的坐標(biāo) .ABMxyzo由題意知： MBAM ??},{ 111 zzyyxx ??? },{ 222 zzyyxx ???? ?1xx ? )( 2 xx ?? ?1yy ? )( 2 yy ?? ?1zz ? )( 2 zz ?? ?,1 21 ?????? xxx,1 21 ?????? yyy,1 21 ?????? zzzM 為有向線段 AB 的 定比分點(diǎn) .M 為中點(diǎn)時(shí)，,2 21 xxx ?? ,2 21 yyy ?? .2 21 zzz ??五、向量的分向量表示式 以 kji ??? , 分別表示沿 zyx , 軸正向的單位向量 .xyzo?0M?Mi? j?k?yaxaza表示向量在 x、 y、 z軸上的投影 . kajaiazyx??? 和，例 3 求平行于向量 kjia????676 ??? 的單位向量的分解式 .解 所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向 a?222 )6(76|| ????a?? ,11?|| aa???0a? ,116117116 kji ??? ???或 0a || aa???? .116117116 kji ??? ????例 4 設(shè) kjim????853 ??? ， kjin????742 ??? ，kjip????45 ??? ，求向量 pnma??????? 34 在 x 軸上的投影及在 y 軸上的分向量 . 解 pnma ????? ??? 34)853(4 kji ??? ??? )742(3 kji ??? ???)45( kji ??? ??? ,15713 kji ??? ???? 在 x 軸上的投影為 13?xa ,在 y 軸上的分向量為 j?7 .六、小結(jié) 向量的坐標(biāo) 向量的模與方向角 （注意分向量與向量的坐標(biāo)的 區(qū)別 ） 向量的概念 向量的加減法 向量與數(shù)的乘法 （注意與標(biāo)量的區(qū)別） （三角形法則） （注意數(shù)乘后的方向） 向量的分向量表示式 思考題 1 . 設(shè) jim ??? ?? ， kjn ??? ??? 2 ，求以向量 nm ?? , 為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度 . 思考題 1解答 對(duì)角線的長(zhǎng)為 |,||,| nmnm ???? ??},1,1,1{ ??? nm ??? }1,3,1{ ??? nm ??,3|| ??? nm ?? ,11|| ?? nm ?平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度各為 11,3 .m?n?思考題 2. 已知平行四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC ,a?? BD b??試用 表示平行四邊形四邊上對(duì)應(yīng)的向量 . ba ??,思考題 2解答 BC AD? ? AM ? MD ).(21 ba ?? ??DC ? AB ? AM ? MB ).(21 ba?? ??A BCDM a?b?一 、 填空： 1 . 向量是 ______ ___ 的量； 2 . 向量的 ______ _____ 叫做向量的模； 3 . __ _____ ____ 的向量叫做單位向量； 4 . __ _____ _____ _ 的向量叫做零向量； 5 . 與 _ ____ 無關(guān)的向量稱為自由向量； 6 . 平行于同一直線的一組向量叫做 ____ ___ __ ，三 個(gè)或三個(gè)以上平行于同一平面的一組向量叫做 __ _ _____
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1