經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 xa 發(fā)散從而級(jí)數(shù) 。,1[]1,( ??????發(fā)散域因此級(jí)數(shù)斂散性的問題對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或冪級(jí)數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的哪些點(diǎn)使級(jí)數(shù)收斂，哪些點(diǎn)使級(jí)數(shù)發(fā)散？ )()(lim xsxs nn ???函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和 余項(xiàng) )()()( xsxsxr nn ??(x在收斂域上 ) 0)(lim ??? xrnn注意 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn) x的收斂問題 ,實(shí)質(zhì)上是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題 . ?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n在收斂域上 , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs , 稱 )( xs 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 和函數(shù) . 定義域是什么 ? ),( xsn定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域 如果冪級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 不是僅在 0?x 一點(diǎn)收斂 , 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂 , 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù) R 存在 , 它具有下列性質(zhì) :當(dāng) Rx ? 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 。一、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 四、小結(jié) 思考題 第四節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù) (1) 一、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) xxf c o s)( ? 在 00 ?x 處的各階泰勒多項(xiàng)式為 1)(c o s 0 ?? xPx1 . xxf c o s)( ?在 00 ?x 處的泰勒級(jí)數(shù) . !2221)(c o s xxPx ???!4!24421)(c o s xxxPx ????!6!4!266421)(co s xxxxPx ?????!8!6!4!2886421)(co s xxxxxPx ????????圖形演示 !22 21)( xxP ??② !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???圖形演示 !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???!6!4!26 6421)( xxxxP ????圖形演示 圖形演示 !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???!6!4!26 6421)( xxxxP ????!8!6!4!28 86421)( xxxxxP ?????數(shù)值實(shí)驗(yàn) π2x ?2π( ) 0 .2 3 3 7 02P ??6π( ) 0 .0 0 0 8 92P ??8π( ) 0 .0 0 0 22P ??4π( ) 0 .0 1 9 9 72P ??πc os 02 ?數(shù)值實(shí)驗(yàn) πx?2 ( π ) 3 .9 3 4 8 0P ??6 ( π ) 1 .2 1 1 3 5P ??8π( ) 0 .9 7 6 0 22P ??4 ( π ) 0 .1 2 3 9 1P ?c o s π1??10 ( π ) 1 .0 0 1 8 3P ??讓項(xiàng)數(shù)無限增加，則得到了一個(gè)無窮級(jí)數(shù) ??????? !10!8!6!4!21108642 xxxxx 且 對(duì)任意的 ),( ?????x ，只要 n 越來越大，xc o s 的泰勒多項(xiàng)式均收斂到 xc o s ，這時(shí)我們稱上述級(jí)數(shù)收斂于 xc o s ，或者稱 xc o s 在 00?x 處可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，即 ??????? !8!6!4!21c o s8642 xxxxx ， ???|| x ? ? !!6!4!2 11)(c os 642 nxnxxxn nxPx ???????? ?結(jié)論 xexf ?)( 在 00 ?x 處的各階泰勒多項(xiàng)式為 1)(0 ?? xPe x??2 . xexf ?)( 在 00 ?x 處的泰勒級(jí)數(shù) . xxPe x ??? 1)(1!2221)( xx xxPe ????!3!23321)( xxx xxPe ?????!4!3!244321)( xxxx xxPe ??????圖形演示 xxP ?? 1)(1圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???!3!21)(323xxxxP ????圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???!3!21)(323xxxxP ????!4!3!21)(4324xxxxxP ?????數(shù)值實(shí)驗(yàn) 21?x5 0 0 0 )1(1 ?P6 4 5 8 )1(3 ?P6 4 8 4 )1(4 ?P6 2 5 0 )1(2 ?P ?e數(shù)值實(shí)驗(yàn) 1?x0 0 0 0 )1(1 ?P6 6 6 6 )1(3 ?P7 0 8 3 )1(4 ?P5 0 0 0 )1(2 ?P?e讓項(xiàng)數(shù)無限增加，則得到了一個(gè)無窮級(jí)數(shù) 且對(duì)任意的 ),( ?????x ，只要 n 越來越大，xe 的泰勒多項(xiàng)式均收斂到xe ，這時(shí)我們稱上述級(jí)數(shù)收斂于xe ，或者稱xe 在 00?x 處可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，即 結(jié)論 ? ? !!21 2 nxxxxPe nnx ?????? ??? ?????!!212nxxx n ?? ?????!!212nxxxe nx ， ???|| x 3 . )( xfy ? 在 0xx ? 處的泰勒級(jí)數(shù)及展開的條件 若 )( xf 在0x 處的某鄰域 )( 0xU 內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) )( 0xUx ? 時(shí)，級(jí)數(shù) ??????????????nnnnnxxnxfxxxfxfxxnxf)(!)())(()()(!)(00)(000000)( 稱為 )( xf 在 0xx ? 處的泰勒級(jí)數(shù) 若當(dāng) x 在某 范圍內(nèi)變化時(shí)，總有 )()(lim xfxP nn??? 則稱 )( xf 在 0xx ? 處可以展開成上述泰勒級(jí)數(shù) 定理 設(shè) )( xf 在點(diǎn)0x 的某一鄰域 )( 0xU 內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則 )( xf 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 )( xf 的泰勒公式中的余項(xiàng) )( xR n 當(dāng)??n 時(shí)的極限為零，即 ))((0)(l i m 0xUxxR nn ???? 若在泰勒級(jí)數(shù)中令 00 ?x 得 ?? ????????nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0(
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