經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分泰勒級數(shù)與冪級數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 xa 發(fā)散從而級數(shù) 。,1[]1,( ??????發(fā)散域因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的哪些點使級數(shù)收斂，哪些點使級數(shù)發(fā)散？ )()(lim xsxs nn ???函數(shù)項級數(shù)的部分和 余項 )()()( xsxsxr nn ??(x在收斂域上 ) 0)(lim ??? xrnn注意 函數(shù)項級數(shù)在某點 x的收斂問題 ,實質(zhì)上是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題 . ?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n在收斂域上 , 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs , 稱 )( xs 為函數(shù)項級數(shù)的 和函數(shù) . 定義域是什么 ? ),( xsn定義域就是級數(shù)的收斂域 如果冪級數(shù) ??? 0nnnxa 不是僅在 0?x 一點收斂 , 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 , 則必有一個完全確定的正數(shù) R 存在 , 它具有下列性質(zhì) :當(dāng) Rx ? 時 , 冪級數(shù)絕對收斂 。一、函數(shù)的泰勒級數(shù) 二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算 四、小結(jié) 思考題 第四節(jié) 泰勒級數(shù)與冪級數(shù) (1) 一、函數(shù)的泰勒級數(shù) xxf c o s)( ? 在 00 ?x 處的各階泰勒多項式為 1)(c o s 0 ?? xPx1 . xxf c o s)( ?在 00 ?x 處的泰勒級數(shù) . !2221)(c o s xxPx ???!4!24421)(c o s xxxPx ????!6!4!266421)(co s xxxxPx ?????!8!6!4!2886421)(co s xxxxxPx ????????圖形演示 !22 21)( xxP ??② !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???圖形演示 !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???!6!4!26 6421)( xxxxP ????圖形演示 圖形演示 !22 21)( xxP ??!4!24 421)( xxxP ???!6!4!26 6421)( xxxxP ????!8!6!4!28 86421)( xxxxxP ?????數(shù)值實驗 π2x ?2π( ) 0 .2 3 3 7 02P ??6π( ) 0 .0 0 0 8 92P ??8π( ) 0 .0 0 0 22P ??4π( ) 0 .0 1 9 9 72P ??πc os 02 ?數(shù)值實驗 πx?2 ( π ) 3 .9 3 4 8 0P ??6 ( π ) 1 .2 1 1 3 5P ??8π( ) 0 .9 7 6 0 22P ??4 ( π ) 0 .1 2 3 9 1P ?c o s π1??10 ( π ) 1 .0 0 1 8 3P ??讓項數(shù)無限增加，則得到了一個無窮級數(shù) ??????? !10!8!6!4!21108642 xxxxx 且 對任意的 ),( ?????x ，只要 n 越來越大，xc o s 的泰勒多項式均收斂到 xc o s ，這時我們稱上述級數(shù)收斂于 xc o s ，或者稱 xc o s 在 00?x 處可以展開成泰勒級數(shù)，即 ??????? !8!6!4!21c o s8642 xxxxx ， ???|| x ? ? !!6!4!2 11)(c os 642 nxnxxxn nxPx ???????? ?結(jié)論 xexf ?)( 在 00 ?x 處的各階泰勒多項式為 1)(0 ?? xPe x??2 . xexf ?)( 在 00 ?x 處的泰勒級數(shù) . xxPe x ??? 1)(1!2221)( xx xxPe ????!3!23321)( xxx xxPe ?????!4!3!244321)( xxxx xxPe ??????圖形演示 xxP ?? 1)(1圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???!3!21)(323xxxxP ????圖形演示 xxP ?? 1)(1!21)(22xxxP ???!3!21)(323xxxxP ????!4!3!21)(4324xxxxxP ?????數(shù)值實驗 21?x5 0 0 0 )1(1 ?P6 4 5 8 )1(3 ?P6 4 8 4 )1(4 ?P6 2 5 0 )1(2 ?P ?e數(shù)值實驗 1?x0 0 0 0 )1(1 ?P6 6 6 6 )1(3 ?P7 0 8 3 )1(4 ?P5 0 0 0 )1(2 ?P?e讓項數(shù)無限增加，則得到了一個無窮級數(shù) 且對任意的 ),( ?????x ，只要 n 越來越大，xe 的泰勒多項式均收斂到xe ，這時我們稱上述級數(shù)收斂于xe ，或者稱xe 在 00?x 處可以展開成泰勒級數(shù)，即 結(jié)論 ? ? !!21 2 nxxxxPe nnx ?????? ??? ?????!!212nxxx n ?? ?????!!212nxxxe nx ， ???|| x 3 . )( xfy ? 在 0xx ? 處的泰勒級數(shù)及展開的條件 若 )( xf 在0x 處的某鄰域 )( 0xU 內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) )( 0xUx ? 時，級數(shù) ??????????????nnnnnxxnxfxxxfxfxxnxf)(!)())(()()(!)(00)(000000)( 稱為 )( xf 在 0xx ? 處的泰勒級數(shù) 若當(dāng) x 在某 范圍內(nèi)變化時，總有 )()(lim xfxP nn??? 則稱 )( xf 在 0xx ? 處可以展開成上述泰勒級數(shù) 定理 設(shè) )( xf 在點0x 的某一鄰域 )( 0xU 內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則 )( xf 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是 )( xf 的泰勒公式中的余項 )( xR n 當(dāng)??n 時的極限為零，即 ))((0)(l i m 0xUxxR nn ???? 若在泰勒級數(shù)中令 00 ?x 得 ?? ????????nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0(
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1