經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分泰勒taylor公式(已修改)
2025-09-10 12:38 本頁(yè)面
【正文】 一、問題的提出 二、 Pn和 Rn的確定 四、簡(jiǎn)單應(yīng)用 五、小結(jié) 思考題 三、泰勒中值定理 第五節(jié) 泰勒 (Taylor)公式 一、問題的提出 1. 設(shè) )( xf 在 0x 處連續(xù) , 則有2. 設(shè) )( xf 在 0x 處可導(dǎo) , 則有例如 , 當(dāng) x 很小時(shí) , xe x ?? 1 , xx ?? )1l n ([ ??? )()( 0xfxf ])]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????（如下圖） )()( 0xfxf ?))(()()( 000 xxxfxfxf ???? xey ?xy ?? 1oxey ?oxy?)1l n ( xy ??不足 : 問題 : 尋找函數(shù) )( xP , 使得 )()( xPxf ?誤差 )()()( xPxfxR ?? 可估計(jì)精確度不高； 誤差不能估計(jì) . ●設(shè)函數(shù) )( xf 在含有0x 的開區(qū)間 ),( ba 內(nèi) 具有直到 )1( ?n 階導(dǎo)數(shù) , ● )( xP 為多項(xiàng)式函數(shù) nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202020 ???????? ?● 誤差 )()()( xPxfxR nn ?? 如何 確定 nP 和 nR ？ 二、 nP 和 nR 的確定0x)( xfy ?o xy分析 : )()( 00 xfxP n ?)()( 00 xfxP n ?????)()( 00 xfxP n ??????? 近似程度越來(lái)越好 點(diǎn)相交 0x假設(shè) nkxfxP kkn ,2,1)()( 0)(0)( ???),( 00 xfa ?代入 )( xP n 中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000??????????? ?得 ),2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ???),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????,?? )(! 0)( xfan nn ??三、泰勒 ( Taylor )中值定理 泰勒 (Ta ylo r) 中值定理 如果函數(shù) )( xf 在含有0x的某個(gè)開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)具有直到 )1( ?n 階的導(dǎo)數(shù) , 則當(dāng) x 在 ),( ba 內(nèi)時(shí) , )( xf 可以表示為 )(0xx ? 的一個(gè)n 次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng) )( xRn之和 : )()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn????????????? 其中 10)1()()!1( )()( ????? nnn xxnfxR ? (? 在0x 與 x 之間 ) . 證明 : 由假設(shè) , )( xR n 在 ),( ba 內(nèi)具有直到 )1( ?n 階導(dǎo)數(shù) , 且 兩函數(shù) )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 為端點(diǎn)的區(qū)間上 滿足柯西中值定理的條件 , 得 )())(1( )( 0011 之間與在 xxxnRnn ???????0)()()()()(10010 ????? ?? nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000????????xRxRxRxRnnnnn? 如此下去 , 經(jīng)過(guò) )1( ?n 次后 , 得 兩函數(shù) )( xR n? 及 nxxn ))(1( 0?? 在以 0x 及 1? 為端 點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件 , 得 0))(1()()())(1()(0101011??????????nnnnnxnxRRxnR????? ? !1)()()( )1(10 ????? nRxxxR nnnn ? ( 之間與在 nx ?? 0 , 也在 0x 與 x 之間 ) )())(1( )( 1021022 之間與在 ???? xxnnRnn??????????nkkkn xxkxfxP000)()(!)()(稱為 )( xf 按 )( 0xx ? 的冪展開的 n 次近似多項(xiàng)式?????nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為 )( xf 按 )( 0xx ? 的冪展開的 n 階泰勒公式? ? )()(!1)()(010)1(之間與在 xxxxnfxR nnn ?? ?? ???則由上式得,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??拉格朗日形式的余項(xiàng) ? ? ? ? 1010)1()(!1)(!1)()( ??? ?????? nnnn xxnMxxnfxR ?])[()(! )()( 0000)(nknkkxxoxxk xfxf ????? ??? ? )()(!1)()(010)1(之間與在 xxxxnfxR nnn ?? ?? ???皮亞諾形式的余項(xiàng) 0)( )(lim00??? nnxx xxxR及].)[()( 0 nn xxoxR ??即注意 : 1. 當(dāng) 0?n 時(shí) , 泰勒公式變成拉氏中值公式 )())(()()( 000 之間與在 xxxxfxfxf ?? ????2. 取 00?x , ? 在 0 與 x 之間 , 令 )10( ??? ??? x則余項(xiàng) 1)1()!1()((????nnnxnxfxR?)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf????????? ?)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2???????????????? nnnnxnxfxnfxfxffxf ? 麥克勞林 ( Maclaurin )公式 四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用 例 1 求 xexf ?)( 的 n 階麥克勞林公式 . 解 ,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式 ,得 ).10()!1(!!21 12????????? ? ??nxnx xne
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