經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程(已修改)
2024-09-15 12:45 本頁面
【正文】 二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 五、小結(jié) 思考題 第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 四、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法 一、定義 一、定義 0?????? qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 )( xfqyypy ??????二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 定理 1 如果函數(shù) )(1 xy 與 )(2 xy 是方程 (1) 的兩個(gè)解 , 那末 2211 yCyCy ?? 也是 (1) 的解 . （ 21 , CC 是任意常數(shù)） 問題 : 一定是通解嗎？2211 yCyCy ??)1(0)()( ?????? yxQyxPy注：若在區(qū)間 I 上有 常數(shù)，?? )()()(21 xuxyxy 則函數(shù) )(1 xy 與 )(2 xy 在區(qū)間 I 上 線性無關(guān) . 定理 2 ：如果 )(1 xy 與 )(2 xy 是方程 (1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解 , 那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 (1) 的通解 . （ 21 , CC 是任意常數(shù)） 例如 ,0???? yy,s i n,c o s 21 xyxy ?? ,t an12 常數(shù)且 ?? xyy.s i nco s 21 xCxCy ??? 通解觀察有 定理 3 設(shè)*y 是二階非齊次線性方程 )2()()()( xfyxQyxPy ?????? 的一個(gè)特解 , Y 是與 (2) 對(duì)應(yīng)的齊次方程 (1) 的 通解 , 那么*yYy ?? 是二階非齊次線性微分 方程 (2) 的通解 . 定理 4 設(shè) 21 yy ， 是非齊次方程 (2) 的解 , 那么21 yy ? 就是非齊次方程 (2) 所對(duì)應(yīng)的齊次方程 ( 1 )的解 . 定理 5 設(shè)非齊次方程 (2) 的右端 )( xf 是幾個(gè)函 數(shù)之和 , 如 )()()()(21xfxfyxQyxPy ??????? 而*1y 與*2y 分別是方程 , )()()(1xfyxQyxPy ?????? )()()(2xfyxQyxPy ?????? 的特解 , 那么*2*1yy ? 就是原方程的特解 . 解的疊加原理 321 , yyy? 都是微分方程的解 , ,23 xeyy ??? ,212 xy ??是對(duì)應(yīng)齊次方程的解 , 21223xeyyyy x???又 ?常數(shù) 所求通解為 ?.221 xCeC x ??? ? ? ?122231 yyCyyCy ????例 1 解 ? ? ? ? ? ? ? ?.1622223332223221次微分方程的通解的解，求其所對(duì)應(yīng)的齊都是微分方程＋，已知???????????????xyxyxyxxexyxyy x三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 特征方程法 ,rxey ?設(shè) 將其代入上述方程 , 得 0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?故有 02 ??? qprr 特征方程 ,2 422,1qppr ????特征根 0?????? qyypy1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根 ,2 421qppr ???? ,2422qppr ????,11 xrey ? ,22 xrey ?兩個(gè)線性無關(guān)的特解 得齊次方程的通解為 。21 21 xrxr eCeCy ??)0( ??特征根為 2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根 ,11 xrey ?,221 prr ???)0( ??一特解為 得齊次方程的通解為 。)( 121 xrexCCy ??代入原方程并化簡(jiǎn)，，將 222 yyy ???,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru,0???u知 ,)( xxu ?取 ,12 xrxey ?則,)( 12 xrexuy ?設(shè)另一特解為特征根為 3)有一對(duì)共軛復(fù)根 ，?? ir ??1 ，?? ir ??2，xiey )(1 ?? ?? ，xiey )(2 ?? ??)0( ??重新組合 )(21211 yyy ?? ,c o s xe x ???)(21 212 yyiy ??,s in xe x ???得齊次方程的通解為 ).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?特征根為 .)si nc o s:( xixe ix ??利用歐拉公式注定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根 確定其通解的方法稱為 特征方程法 . .044 的通解求方程 ?????? yyy解 特征方程為 ,0442 ??? rr解得 ,221 ??? rr故所求通解為 .)( 221 xexCCy ???例 2 .052 的通解求方程 ?????? yyy解 特征方程為 ,0522 ??? rr解得 ,2121 ir ???，故所求通解為 ).2s in2c o s( 21 xCxCey x ?? ?例 3 例 4 求微分方程 的通解 082 ?????? yyy解 特征方程為 0)2)(4(822 ?????? rrrr解得 2,4 21 ??? rr 故所求通解為 xx ececy 2241 ???)( xfqyypy ??????二階常系數(shù)非齊次線性方程 對(duì)應(yīng)齊次方程 ,0?????? qyypy通解結(jié)構(gòu) ,??? yYy常見類型 ，)( xPm ,)(xm exP ?,c os)( xexP xm ?? ,s i n)( xexP xm ??難點(diǎn) ： 如何求特解？ 方法 ： 待定系數(shù)法 . 四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 設(shè)非齊次方程特解為 xexQy ?)(??代入原方程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m????????? ???不是特征方程的根若 ?)1(,02 ??? qp ??),()( xQxQ m?可設(shè) 。)( xm exQy ???整理得 )()( xPexf mx??1. 型 是特征方程的重根若 ?)3( ,02 ??? qp ?? ,02 ?? p),()( 2 xQxxQ m?可設(shè)綜上討論 ,)( xQexy mxk ???設(shè) ?????????是重根是單根不是根2,10k.)(2 xm exQxy ???是特征方程的單根，若 ?)2(,02 ??? qp ?? ,02 ?? p),()( xxQxQ m?可設(shè) 。)( xm exxQy ???.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0232 ??? rr特征根 ， 21 21 ?? rr,221 xx eCeCY
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