多元函數(shù)的微積分ppt課件(已修改)
2025-05-10 23:40 本頁面
【正文】 1 多元函數(shù)的微積分 主要內(nèi)容： 一 .多元函數(shù)的概念 二 .二元函數(shù)的極限和連續(xù) 三 .偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計(jì)算 四 .全微分 五 .空間曲線的切線與法平面 六 .曲面的切平面與法線 七 .多元函數(shù)的極值 2 設(shè) D是平面上的一個點(diǎn)集 ． 如果對于每個點(diǎn) P(x， y)?D， 變量 z 按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱 z 是變量 x、 y的二元函數(shù) (或點(diǎn) P的函數(shù) )，記為 z=f (x， y)(或 z=f (P)) 二元函數(shù)的定義： 其中 D稱為定義域， x， y 稱為自變量， z 稱為因變量． 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)． 當(dāng)自變量的個數(shù)多于一個時 ,函數(shù)稱為多元函數(shù) 一 .多元函數(shù)的概念 3 二元函數(shù)的圖形： 二元函數(shù)的圖形是一張曲面． 例 z=a x+b y + c是一張平面， x y z O x0 y0 M0 點(diǎn)集 {(x， y， z)|z=f(x， y)， (x， y)?D}稱為二元函數(shù) z?f(x， y) 的圖形． 4 由方程 x2?y2?z2?a 2確定的函數(shù) z=f (x， y)有兩個： 由方程 x2?y2?z2?a 2確定的函數(shù) z=f (x， y)是中心在原點(diǎn)， 它的定義域?yàn)?D ={(x， y)|x2?y2? a 2}． O x y 半徑為 a的球面． ,222 yxaz ??? .222 yxaz ????,222 yxaz ???.222 yxaz ????5 二 .二元函數(shù)的極限和連續(xù) 設(shè)函數(shù) f (x， y)在開區(qū)域 (或閉區(qū)域 )D內(nèi)有定義，P0(x0， y0)是 D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)．如果對于任意給定的正數(shù) e 總存在正數(shù) d ， 使得對于適合不等式 都有 |f (x， y)?A|e 成立， 則稱常數(shù) A為函數(shù) f (x， y)當(dāng) x ?x0， y ?y0時的極限， 記為 這里 r?|P P0|． 我們把上述二元函數(shù)的極限叫做 二重極限 定義 d?????? 20200 )()(0 yyxxpp),0(),(,),(l i m00????? rAyxfAyxfyyxx 或的一切點(diǎn) P(x， y)?D ， 6 (1) 二重極限存在，是指 P以任何方式趨于 P0時，函數(shù)都無限接近于 A. 例 當(dāng)點(diǎn) P(x， y)沿 x 軸、 y 軸趨于點(diǎn) (0， 0)時函數(shù)的極限為零， 當(dāng)點(diǎn) P(x， y)沿直線 y=k x 趨于點(diǎn) (0， 0)時 注意： ?????????????.0,0.0,),(222222yxyxyxxyyxf.1l i ml i m 2222202200 kkxkxkxyxxyxkxyx ????????? (2) 如果當(dāng) P以兩種不同方式趨于 P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在． 7 .)s in (lim120 xxyyx??求例yxy xyx xyyxyx)s i n (l i m)s i n (l i m2020?????解：yxy xyyxyx2020l i m)s i n (l i m??????.2)s i n (l i m20??? xyxyxy8 則稱函數(shù) f (x， y)在點(diǎn) P0(x0， y0)連續(xù)． 定義： 設(shè)函數(shù) f(x,y)在開區(qū)域 (或閉區(qū)域 )D內(nèi)有定義 ,P0(x0,y0) ?D ． 函數(shù) f (x， y)在區(qū)域 (開區(qū)域或閉區(qū)域 )D 內(nèi)連續(xù)： 是指函數(shù) f (x， y)在 D內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)．此時稱 f (x， y)是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)． 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到 n元函數(shù) f(P)上去． 如果 ),(),(lim 0000yxfyxfyyxx ???9 所以函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù) . 例４ 函數(shù) 在單位圓
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