【正文】 微積分（上）知識點(diǎn) 微積分（上）復(fù)習(xí) 2/58 微積分 （上） 第一章 函數(shù) 函數(shù)的兩要素：定義域 Df和對應(yīng)規(guī)則 f, 由 f[?(x)] 求 f(x) 奇偶性、單調(diào)性、有界性與周期性 本義反函數(shù)、矯形反函數(shù) )(1 yfx ?? )(1 xfy ??單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)。 成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù) 同步練習(xí) P1 一、 4， 12， 9 3/58 微積分 （上） 第二章 極限與連續(xù) （ 1）無窮小 AxfxfAxf xxx ???? ???????? )(l i m)(l i m )(l i m)1(AxfxfAxf xxxxxx ???? ?? ??? )(lim)(lim )(lim)2(0000lim,)( )(lim)3( ????? ??AxfAxf)0( lim ??有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。 有界量與無窮小量的積仍是無窮小。 )0lim( )( ?? ???? o )l i m( ?????? 低階的無窮小比))1,0(lim( ?? cc???? 同階無窮小與 )1lim( ~ ?????同步練習(xí) P3 一、 20二、 12 4/58 微積分 （上） （ 2）無窮大 )( lim ??y無窮大與有界變量的代數(shù)和是無窮大 . 無窮大與非零常數(shù)的乘積是無窮大 . 無窮大與無窮大的乘積是無窮大 . 無窮大與無窮大 和 不一定是無窮大 . （ 3）無窮小與無窮大關(guān)系 ?????????yyyyy1lim)0(0lim01limlim等價無窮小替換必須是因子。 5/58 微積分 （上） ,0lim)1( 0 ??? ?? yx函數(shù)連續(xù)(2)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ).()(lim 00xfxfxx ?? ?函數(shù)連續(xù)最值定理 Mxfm ?? )(有界性定理 介值定理 )),(,( )( baMcmcf ???? ??零點(diǎn)定理 )),(,0)()(( 0)( babfaff ??? ??(極限計(jì)算代入法的理論基礎(chǔ) ) 同步練習(xí) P4 一、 29 同步練習(xí) P6 四、 2 6/58 微積分 （上） (3) 間 斷 點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) (左右極限都存在的點(diǎn) ). ②跳躍間斷點(diǎn) (左右極限不相等 ) ①可去間斷點(diǎn) (左右極限相等 ) 第二類間斷點(diǎn) (左右極限至少有一個不存在的點(diǎn) ). 非無窮間斷點(diǎn) 例如：振蕩 無窮間斷點(diǎn) (左右極限至少有一個為?) 同步練習(xí) P5 二、 15 7/58 微積分 （上） 1s i nlim0?? xxx第一重要極限 )0)(( 1)()(s i nlim0)(???xxxx????en nn????)11(lim第二重要極限 ? ? exx x ??? )(1)(1lim,0)( ??? 則若ex xx????)11(l i m ex xx ???10)1(l i m同步練習(xí) P4 二、 4 8/58 微積分 （上） 5. 極限的計(jì)算 (1)確定型極限的計(jì)算 : 主要利用極限運(yùn)算法則、無窮小與有界變量的乘積仍為無窮小、無窮大與無窮小的關(guān)系。 (2)未定式極限的計(jì)算 : 型00等價無窮小替換、分解因式（或根式有理化）約去零因子、第一個重要極限、洛比達(dá)法則 型??分子、分母同除一個無窮大、洛比達(dá)法則 型?1第二個重要極限 型??0化乘法為除法 型???通分或根式有理化 冪指函數(shù)未定式借助對數(shù)恒等變形轉(zhuǎn)化為基本型 型00 0,1 ??同步練習(xí) P6 一、 4， 11， 14二、 1， 6 9/58 微積分 （上） 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 xxfxxfxfx ????????)()(lim)()1( 0000000)()(lim)()2(0 xxxfxfxfxx ?????.))(,()()()3( 000 處的切線的斜率在點(diǎn)表示曲線 xfxxfyxf ??切線方程： ))(()( 000 xxxfxfy ???? (1)求導(dǎo)公式及四則運(yùn)算法則 注：定義式 求導(dǎo)： ① 分段函數(shù)分段點(diǎn)②某點(diǎn)是否可導(dǎo)未知③用公式求導(dǎo)太繁。 同步練習(xí) P6 一、 6二、 2， 3， 4 同步練習(xí) P7 一、 23 10/58 微積分 （上） (2)復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo) —— 鏈?zhǔn)椒▌t )()( ???? 內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)? ? )()]([)]([ xxfxfdxdududydxdy ??? ??????? 或(4)對數(shù)求導(dǎo)法 方程兩邊同時對 x 求導(dǎo) ,再解 以 y39。為未知數(shù) 的方程 . (3)隱函數(shù)求導(dǎo)法 先方程兩邊取對數(shù) , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù) . (5)高階導(dǎo)數(shù) 2222dxfdfdxydy ???????只須逐階求導(dǎo) : )( 11??? nnnndxyddxddxyd同步練習(xí) P6 一、 13， 33， 35 二、 6， 9， 16 11/58 微積分 （上） (6)冪指函數(shù)求導(dǎo)法 )()]([ xgxfy ?①取自然對數(shù)化為隱函數(shù)再求導(dǎo) . ②利用對數(shù)恒等式化為 以 e為底的復(fù)合函數(shù) ,再求導(dǎo) . (1)微分公式及四則運(yùn)算法則 dxxfdy )(??(2)微分形式不變性 duufdy )(??(3)微分的近似計(jì)算 xxfxfxxf ?????? )()()( 000xxfxfxxf ?????? )()()( 000,較小時當(dāng) x? dyy ??同步練習(xí) P6 一、 8， 28， 31 12/58 微積分 （上） 、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 連續(xù)可微可導(dǎo) ?? 邊際成本 )( xC?邊際收益 表示銷售第 (x +1)個產(chǎn)品所增加的收入近似值 . )(xR?邊際利潤 )(xL? 表示銷售第 (x +1)個產(chǎn)品所增加的利潤近似值 . 表示生產(chǎn)第 (x +1)個產(chǎn)品所增加的成本近似值 . 當(dāng)價格為 p 時，若提價 (降價 )1%，則需求量將減少（增加） %dEpdQdpEd lnln???xdydyyxExEylnln???同步練習(xí) P7 一、 27二、 5 13/58 微積分 （上） 第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 )),(( 0)( baf ???? ?? 至少有一個閉連開導(dǎo)端值相等(1)羅爾定理 (2)拉格朗日中值定理 )),(( )()()( baab afbff ?????? ?? 至少有一個閉連開導(dǎo))),(( )()( )()()( )( baagbg afbfgf ??????? ??? 至少有一個閉連開導(dǎo)(3)柯西中值定理 推論 : Cxfxf ???? )(0)(Cxgxfxgxf ?????? )()()()(14/58 微積分 （上） (4).中值定理及推論證明等式和不等式 ① 等式的 f(x)=A 證明 。取一特殊值計(jì)算再在上式成立的范圍內(nèi)；，利用拉氏推論得先證CCxfxf ??? )(0)(0)( ??g② 含有 f39。(?) 等式的證明 得到要證的結(jié)論。中值定理的條件，即可滿足羅爾或拉格朗日，驗(yàn)證構(gòu)建輔助函數(shù) )()( xFxF x?? 0)( ?xg? )()( xgxF ??③ 證明含有某函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 f(b)? f(a)的不等式 進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放。，再對轉(zhuǎn)化為將兩點(diǎn)函數(shù)值之差先用拉格朗日中值定理)())(()()(?? fabfafbf????同步練習(xí) P10 一、 1五、 3， 4 15/58