【正文】 CHAPTER 4 THE DEFINITE INTEGRAL 一、 原函數(shù)與不定積分的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù) F (x) 及 f (x) 滿足 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) . 則稱 F (x) 為 f (x) 定理 . 存在原函數(shù) . 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 . 原函數(shù)都在函數(shù)族 ( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) . 證 : 1) 又知 ])()([ ???? xFx )()( xFx ??? ?? 0)()( ??? xfxf故 0)()( CxFx ??? )( 0 為某個常數(shù)C即 0)()( CxFx ??? 屬于函數(shù)族 .)( CxF ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即 定義 . 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為 上的不定積分 , 其中 — 積分號 。 — 被積函數(shù) 。 — 被積表達式 . — 積分變量 。 若 則 ( C 為任意常數(shù) ) C 稱 為 積分常數(shù) 不可丟 ! 例如 , ?? xe x d Ce x ??? xx d2 Cx ?331?? xx dsin Cx ?? c o s記作 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 設(shè)曲線通過點 ( 1 , 2 ) , 且其上任一點處的切線 斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍 , 求此曲線的方程 . 解 : 所求曲線過點 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲線為 12 ?? xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo)2,1(不定積分的幾何意義 : 的原函數(shù)的圖形稱為 xxf d)(? 的圖形 的所有積分曲線組成 的平行曲線族 . yxo 0x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的 積分曲線 . ?xdd)1( ? xxf d)( ? )( xf?二、 基本積分表 ?d ? xxf d)( ? xxf d)(?或 Cx ??? d)2( )(xF? )(xF 或 C??? )(xF )(xF利用逆向思維 ?? xk d)1( ( k 為常數(shù) ) Cxk ??? xx d)2( ? Cx ??? 111 ???? xxd)3( Cx ?ln時0?x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1( ???])l n ([)ln( ???? xx x1???? 21 d)4( xx Cx ?a rc t a n?? xx dc o s)6( Cx ?sin?? xx2c o sd)8( ?? xx dse c 2 Cx ?ta n或 Cx ?? c o ta rc??? 21d)5(xx Cx ?a rc s in 或 Cx ?? c o sa rc?? xx dsin)7( Cx ?? c o s?? xx2si nd)9( ?? xx dc sc 2 Cx ?? c o t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?? xxx dt a ns e c)10( Cx ?se c?? xxx dc o tc sc)11( Cx ?? c s c?? xe x d)12( Ce x ??? xa x d)13( Caa x ?ln2shxx eex???Cx ?ch?? xx dch)15( Cx ?sh?? xx dsh)14( 2chxx eex???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、不定積分的性質(zhì) ?? xxfk d)(.1xxgxf d)]()([.2 ? ?推論 : 若 則 xxfkxxf inii d)(d)(1?????? xxfk d)(?? ?? xxgxxf d)(d)()0( ?k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 解 : 原式 = xe xx d)25)2[( ???)2ln ()2(ee x?2ln25 x?Cexx ??????? ???2ln512ln2C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 解 : 原式 = xx d)1( se c 2 ???? ?? xxx ddse c 2 Cxx ??? ta n例 . 求 解 : 原式 = xxxxx d)1()1(22? ???xxd112? ?? xx d1??xa rc ta n? Cx ?? ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 求下列積分 : 提示 : )1(1)1(1)1(2222 xxxx ???xxxx 2222 c o ssinc o ssin1)2( ?xx 22 c s cs e c ??xx 22 c o ss in ?22 111xx ???)( 2x? 2x?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 已知 ?? ????? 22221d1d1 xxBxxAxxx求 A , B . 解 : 等式兩邊對 x 求導(dǎo) , 得 ?? 221 xx22211xxAxA???21 xB??2212)(xxABA????????????120ABA??????2121BA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二類換元法 第一類換元法 基本思路 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) ,)()( ufuF ?? 可導(dǎo) , CxF ?)]([?)(d)( xuuuf ????)()( xuCuF ?????)]([d xF ? xxxf d)()]([ ?? ?則有 一、第一類換元法 定理 1. ,)( 有原函數(shù)設(shè) uf ,)( 可導(dǎo)xu ?? 則有換元 公式 ? uuf d)( )( xu ??? )(d))(( xxf ??(也稱 配元法 即 ??? xxxf d)()]([ ??, 湊微分法 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 求 解 : 令 ,bxau ?? 則 ,dd xau ? 故 原式 = ? mu uad1 a1? Cum m ??? ? 111注 : 當(dāng) 時 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? 22 )(1 d1axxa例 . 求 解 : ,axu ?令 則 xau d1d ?? ? 21 uuda1 Cua ?? a r c t a n1想到公式 ? ? 21 d uuCu ?? a rc t a n)(ax?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 ??? 21duu想到 Cu ?a rc s in解 : ? ? 2)(1 daxax? )(d))(( xxf ?? (直接配元 ) ??? xxxf d)()]([ ??? ?? 2)(1)(daxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : ? xxx dc o ssi n ??? xxc o sc o sd? x xxsi n dco s ?? xxsi nsi nd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似 常用的幾種配元形式 : ??? xbxaf d)()1( )(d bxa ?a1?? ? xxxf nn d)()2( 1nxdn1?? xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1萬能湊冪法 ?? xxxf dc o s)(sin)4( xsind?? xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?? xxxf dse c)(t a n)6( 2xtand?? xeef xx d)()7( xed?? xxxf d1)(l n)8( xlnd例 . 求 ? ? xln21 xlnd解 : 原式 = ? ?? xln2121 )ln21(d x?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 .d3xxex?解 : 原式 = xe x d2 3? )3d(32 3 xe x??Ce x ?? 332例 . 求 .dse c 6 xx?解 : 原式 = xdxx 222 se c)1(t a n ??? xtandxxx t a nd)1t a n2(t a n 24? ???x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求 .1 d? ? xex解法 1 xeeexxxd1)1(?????d?? ? ???xxee1)1(dx? Ce x ??? )1ln (解法 2 xeexxd1? ???? ? ??????xxee1)1(dCe x ???? ? )1ln()]1(ln [)1ln ( ????? ?? xxx eee 兩法結(jié)果一樣 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?????????xx si n11si n1121 ?例 . 求 解法 ?? xxx dc o sc o s2 ? ?? xx2si n1 si ndxsind????? xsi n1ln21 ?? ? Cx ??? s i n1lnCxx ???? s i n1 s i n1ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? xx t a nse c解法 2 xx t a ns e c ?)ta n(s e c xx ?xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c2? ???)ta n(s e cd xx ?同樣可證 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln或 Cx ?? 2t a nln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解： 求 ? x d xlnc o s 令 xt ln? ， 則 tex ? ， dtedx t? ， 從而 原式 ?? t d te t c o s ? ? Cxxx ??? lnc oslns i n2例 解： 求 ? ?? dxxa rc t a ns i n 令 xt a r c t a n? 則 tx t a n? ， t d tdx 2s e c? ， 于是 原式 ?? tdt c osc os 1 2 Ct ?? c o s1Ct ??? 2t a n1 Cx ??? 21例 小結(jié) 常用簡化技巧 : (1) 分項積分 : (2) 降低冪次 : (3) 統(tǒng)一函數(shù) : 利用三角公式 。 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 c o ss in1 ??萬能湊冪法 ?? ? x