【正文】 i n52s i n52?????????????? xx????????? 5252 54?原式 ★注意： 如果忽略 xcos?????? ?? ,2在 上為負，而按照 xxxx c oss i ns i ns i n 2353 ?? 來計算，將導(dǎo)致錯誤結(jié)果 . ? ( )uv u v u v? ? ? ? ?兩端在 [ , ]a b 上求定積分可得： ? ??ba bauvdxuv )( ?? ???? baba dxvuv dxu?? ????? baba ba v dxuuvdxvubabav dxuuvdxvu ?????? ???? ??:或定積分的分部積分法 解： 求 e dxx01? 令 tx ? ， 則t d tdxtx 2,2 ?? ， 當 1,1。 引例 1 求曲邊梯形的面積 在每個小區(qū)間上任取一點],[ 1 iii xx ???，則第 i 個小曲邊梯形的面積： iii xfS ???? )( ? ( , , , )i n? 1 2 ? 即：一寬 為?xi，高 為)( if ?的矩形面積 xy ??xfy?xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?Ⅱ 取近似 (不變代變 ) 引例 1 求曲邊梯形的面積 將n個小曲邊梯形面積的近似值相加得曲邊梯形面積之近似值： ????niiSS1 iniixf ??? ??)(1? ( , , , )i n? 1 2 ? xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??xy ??xfy?xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?Ⅲ 求和 (積零為整 ) baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?引例 1 求曲邊梯形的面積 設(shè) ,m a x { 21 xx ???? }, 1 nn xx ?? ?? 即小區(qū)間的最大寬 度。 分式分項 。 — 被積表達式 . — 積分變量 。)( 2 ???? )04,N( 2 ??? ? qpk若干部分分式之和 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example: 將下列真分式分解為部分分式 : Solution 1 用拼湊法 22 )1()1(1??? xxxx 2)1(1??x )(1?? xx2)1(1??x )1( ?? xx2)1(1??x 11?? x x1?)1( ?? xx)1( ?? xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法 6532 ???xxx)3)(2(3????xxx2? xA3?? xB原式???? )2( xA 2?x 233 ???? xxx 5??原式??? )3( xB 3?x 323 ???? xxx 6?故 25??? x原式 36?? x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 混合法 ??? )1)(21(12xx ?? xA21 21 xCBx??原式??? )21( xA21??x54?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 C?? 541215461 CB ???52??B51?C原式 = x21 451 ???? ???? ?? 21 12 xx四種典型部分分式的積分 : CaxA ??? ln)1( ?n CaxnA n ???? ?1)(1? ? xax A ? ? xax A n d)(.2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? ? xqxpx NxM 2? ?? ? xqxpx NxM n d)(.4 2變分子為 )2(2 pxM ? 2 pMN ??再分項積分 ? ??? xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 ??? xxExample ? ?? ?? xxx xxI d45 52 243? ?? ?? xxx x d45 52 242? ?? ??? 45 )45d(21 2424xxxx45ln21 24 ??? xx 2a r c t a n21 x Cx ?a rc t a nSolution 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明 : 將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行 , 但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 簡便的方法 . 常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example ? ?? xx d14)1( 2 ?x )1( 2 ?? x21? ?1d4x x2a rc t a n221 1xx ??21?221 ln 21 ?? xx21 ?? xxC?xxxx d12122121? ??? xxxx d12122121? ???? ??? 2)(21 21xx)d( 1xx ? ????2)(2121xx)d( 1xx ?注意本題技巧 按常規(guī)方法較繁 Solution 轉(zhuǎn)化 微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Differerntial Equation 解分離變量方程 xxfyyg d)(d)( ?可分離變量方程 )()(dd 21 yfxfxy ?0 )(d )( 11 ?? xNxxM yyNyM d)( )( 22分離變量方程的解法 : xxfyyg d)(d)( ?設(shè) y＝ ? (x) 是方程①的解 , xxfxxxg d)(d)())(( ????兩邊積分 , 得 xxf d)(??① 則有恒等式 ② 則有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example xxyy d3d 2?Integrate in both side So 13ln Cxy ??Cxy lnln 3 ??So 1CeCLe t ??( C 為任意常數(shù) ) 或 說明 : 在求解過程中每一步不一定是同解變形 , 因此可能增、 減解 . ( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Find y let Solution: Example. Find y(通解 ) Let Solution ,1??? yxu 則 故有 uu 2sin1 ???即 Cxu ??t a n解得 Cxyx ???? )1ta n ( ( C 為任意常數(shù) ) 所求通解 : 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Solution 1 分離變量 Cee xy ??? ?01)( ??? yx eCe ( C 0 ) Solution 2 ,yxuLe t ??So ueu ??? 1Integrate in both side Cxeu u ???? )1(ln( C 為任意常數(shù) ) So 通解 : Cye yx ??? ? )1(lnue ee uuud1 )1(? ? ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Introduction to Area 1. 曲邊梯形的面積 設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線 以及兩直線 所圍成 , 求其面積 A . ??A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xfy ?矩形面積 梯形面積 1x ix1?ixayo解決步驟 : 1) 大化小 . 在區(qū)間 [a , b] 中任意插入 n –1 個分點 bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?],[ 1 iii xx ???用直線 ixx ? 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形 。0,0 ???? txtx 時當時 所以原式 ?? 102 dtte t 令 dtedvtu t?? , ， 則 tevdtdu ?? , 從而原式 ? ?? ???? 10102 dtete tt ? ?102 tee ?? ? ? 212 ???? eeExample 無窮限的反常積分 引例 . 曲線 和直線 及 x 軸所圍成的開口曲 邊梯形的面積 21xy ?A1可記作 ? ??? 1 2dx xA其含義可理解為 ????? bb x xA 1 2dl i mbbb x 11l i m ?????? ??????????? ?? ??? bb 11lim 1?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無界函數(shù)的反常積分 引例 :曲線 所圍成的 與 x 軸 , y 軸和直線 開口曲邊梯形的面積 可記作 其含義可理解為 ???? 10 dl i m ?? xxA ??12lim0x???)1(2l i m0???? ??2?xy1?0Axy?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習 1. 提示 : 令 ,txu ??________d)(si nd d 0 100 ??? ttxx x則 ttxx d)(si n0 100? ? u100sinx100si2. 設(shè) 解法 1 )( 3xf?解法 2 對已知等式兩邊求導(dǎo) , 思考 : 若改題為 提示 : 兩邊求導(dǎo) , 得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得 。如左圖 abBA （一） baABS引例 1 求曲邊梯形的面積 設(shè)曲邊方程為 y f x? ?( ) 0，連續(xù)且底邊在 x 軸上 （如圖） x? ?xfy ?yO 寬 長 矩形面積 = baABx? ?xfy ?SyO引例 1 求曲邊梯形的面積 1x 2x 1?ix ix 1?nx??xy ??xfy?Ⅰ 分割（化整為零） 在 [ , ]a b 內(nèi)插入 1?n 個 分點，即 : bxxxxxann ??????? 1210 ?? 則 [ , ]a b 被分為 n 個小區(qū)間 [ , ]x xi i? 1，記其長度為 :1???? iii xxx ),2,1( ni ?? 過每一分點作平行于 y 軸的直線 x xi?將曲邊梯形分為 n 個小曲邊梯形 。 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 c o ss in1 ??萬能湊冪法 ?? ? xxxf nn d)( 1