【正文】 1?t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且 解： 求 dxxx? 205 s i nc o s? . 原式 ????? ??? 01 5c o s dttxt ?? 10 5 dtt6161 106 ???????? t另解 原式 ? ?xdx c osc os20 5??? 206c o s61????????? x61?換元換限，不換元則不換限 example Example 解： 求 dxxaa? ?0 22. 設 tax s in? ， 則 t d tadx c o s? ， 且當 0?x 時， 0?t ；當 ax ? 時 ，2??t 原式 dtta ?? 20 22 c o s? ? ?dtta ? ?? 2022c os12?2022s i n212??????? ?? tta42a??Example 計算 .s i ns i n0 53 dxxx? ???????? 2,0? xx c o s|c o s| ??????? ?? ,2|cos| x xcos??解： 由于在 上， ，在 上， ，所以 dxxxdxxx ?? ??? ???2232023)c os(s i nc oss i n?? ?? ???2232023)(s i ns i n)(s i ns i n xxdxdx???2252025s i n52s i n52?????????????? xx????????? 5252 54?原式 ★注意： 如果忽略 xcos?????? ?? ,2在 上為負，而按照 xxxx c oss i ns i ns i n 2353 ?? 來計算，將導致錯誤結果 . ? ( )uv u v u v? ? ? ? ?兩端在 [ , ]a b 上求定積分可得： ? ??ba bauvdxuv )( ?? ???? baba dxvuv dxu?? ????? baba ba v dxuuvdxvubabav dxuuvdxvu ?????? ???? ??:或定積分的分部積分法 解： 求 e dxx01? 令 tx ? ， 則t d tdxtx 2,2 ?? ， 當 1,1。 引例 1 求曲邊梯形的面積 在每個小區(qū)間上任取一點],[ 1 iii xx ???，則第 i 個小曲邊梯形的面積： iii xfS ???? )( ? ( , , , )i n? 1 2 ? 即：一寬 為?xi，高 為)( if ?的矩形面積 xy ??xfy?xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?Ⅱ 取近似 (不變代變 ) 引例 1 求曲邊梯形的面積 將n個小曲邊梯形面積的近似值相加得曲邊梯形面積之近似值： ????niiSS1 iniixf ??? ??)(1? ( , , , )i n? 1 2 ? xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??xy ??xfy?xy ??xfy?baA B1x2x 1?ix ix 1?nx??baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?Ⅲ 求和 (積零為整 ) baABx? ?xfy ?SyO 1x 2x 1?ix ix 1?nx?? i?引例 1 求曲邊梯形的面積 設 ,m a x { 21 xx ???? }, 1 nn xx ?? ?? 即小區(qū)間的最大寬 度。 容易計算 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分部積分法 第 四 章 例 . 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx dsi nCxxx ??? c o ss in思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example .dln xxx?Solution: Let ,ln xu ? xv ??,1xu ?? 221 xv ? = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example .da rc t a n xxx?,a rc t a n xu ? xv ??So ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ xx a r c t a n21 2? ? ?? xxx d121 22xx a rct a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rct a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Method of Solution: 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?,a rc c o s xu ? 1??v,21 1 xu ???? xv?= xx a rc c o s ? ?? xxx d21xx a rc c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a rc c o s? Cx ??? 21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反 : 反三角函數(shù) 對 : 對數(shù)函數(shù) 冪 : 冪函數(shù) 指 : 指數(shù)函數(shù) 三 : 三角函數(shù) Solution: Let Example So Example .dsi n xxe x?,s in xu ? xev ??So ,c o s xu ?? xev ?∴ xe x sin? ?? xxe x dc o sLet ,c o s xu ? xev ?? So ,s in xu ??? xev ?xe x sin? ??? xxexe xx dsinc o s So Original = Cxxe x ?? )c o s(si n21說明 : 也可設 為三角函數(shù) , 但兩次所設類型 必須一致 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Example ,c o sln xu ? xv 2c o s1??So ,ta n xu ??? xv tan? Original = xx c o slnta n ? ?? xx dt a n 2xx c o slnta n ?? ? ?? xx d)1(se c 2xx c o slnta n ?? Cxx ??? ta n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Example Solution:Let ,tx ? So ,2tx ? ttx d2d ?Original tet t d2??tet(2?Cxe x ??? )1(2,tu ? tev ??)te? C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Let Example Solution： Let ,22 axu ?? ,1??v So ,22 ax xu ??? xv?22 axx ? ??? xaxx d22222 axx ?? ????? xaxaax d22222 )(22 axx ?? ? ?? xax d22 ??? 22d2axxa∴ Result= 2221 axx ? Caxxa ???? )(ln2222??? xax d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求 x d x? 3s e c u x v x? ? ?s e c , s e c 2 So ? ? ?u x x v xs e c t a n , t a n ? x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c ??? dxxxxx )1( s e cs e ctans e c 2 ??? ?Result x dx3s e c? ? ? Cxxxx ???? tans e clntans e c21 Example Solution： Let Example ?? xxI d)ln(sinSo texex tt dd, ??tteI t dsin???tetsintetcos??? ttete tt dc o ssintsin?te? ? ??Itte t ??? )c o s( s inCtteI t ???? )c o s(si n21Cxxx ??? )]c o s(l n)[si n (l n21可用表格法求 多次分部積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution： Let 思考 1. 下述運算錯在哪里 ? 應如何改正 ? ? xxx dsi nco s??? xxx dsi nc o s1,1dsi nc o sdsi nc o s ??? ?? xxxxxx 得 0 = 1 答 : 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . Cx ?? s i nln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example (先分部 , 再換元 ) )1(d ?xeLet ,1?? xeu So 112 ??uCuu ??? )a rc ta n(44機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution 1： Let (先換元 ,再分部 ) ,1?? xeu So )1ln (2 2uu ?? ?1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1?Solution 2： Let Integration of Rational Function )()()(xQxPxR ? ? nnn axaxa ??? ? ?110Rational Function : nm? Improper rational functions nm?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Proper rational functions Integration of Rational Function 有理函數(shù) 相除 多項式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式為 kk qxpxNxMaxA)(。 分式分項 。 — 被積函數(shù) 。 — 被積表達式 . — 積分變量 。 利用倍角公式 , 如 思考與練習 1. 下列各題求積方法有何不同 ? ? ? xx4 d)1( ? ? 24 d)2( xxxxx d4)3( 2? ?xxx d4)4( 22? ?? ? 24 d)5( xx? ? 24