【文章內容簡介】 結束 由導數公式 vuvuuv ?????)(積分得 : xvuxvuuv dd ???? ??分部積分公式 xvuuvxvu dd ?? ????或 uvvuvu dd ?? ??1) v 容易求得 。 容易計算 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分部積分法 第 四 章 例 . 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx dsi nCxxx ??? c o ss in思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example .dln xxx?Solution: Let ,ln xu ? xv ??,1xu ?? 221 xv ? = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example .da rc t a n xxx?,a rc t a n xu ? xv ??So ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ xx a r c t a n21 2? ? ?? xxx d121 22xx a rct a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rct a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Method of Solution: 把被積函數視為兩個函數之積 , 按 “ 反對冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?,a rc c o s xu ? 1??v,21 1 xu ???? xv?= xx a rc c o s ? ?? xxx d21xx a rc c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a rc c o s? Cx ??? 21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反 : 反三角函數 對 : 對數函數 冪 : 冪函數 指 : 指數函數 三 : 三角函數 Solution: Let Example So Example .dsi n xxe x?,s in xu ? xev ??So ,c o s xu ?? xev ?∴ xe x sin? ?? xxe x dc o sLet ,c o s xu ? xev ?? So ,s in xu ??? xev ?xe x sin? ??? xxexe xx dsinc o s So Original = Cxxe x ?? )c o s(si n21說明 : 也可設 為三角函數 , 但兩次所設類型 必須一致 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Example ,c o sln xu ? xv 2c o s1??So ,ta n xu ??? xv tan? Original = xx c o slnta n ? ?? xx dt a n 2xx c o slnta n ?? ? ?? xx d)1(se c 2xx c o slnta n ?? Cxx ??? ta n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution: Let Example Solution:Let ,tx ? So ,2tx ? ttx d2d ?Original tet t d2??tet(2?Cxe x ??? )1(2,tu ? tev ??)te? C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Let Example Solution： Let ,22 axu ?? ,1??v So ,22 ax xu ??? xv?22 axx ? ??? xaxx d22222 axx ?? ????? xaxaax d22222 )(22 axx ?? ? ?? xax d22 ??? 22d2axxa∴ Result= 2221 axx ? Caxxa ???? )(ln2222??? xax d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求 x d x? 3s e c u x v x? ? ?s e c , s e c 2 So ? ? ?u x x v xs e c t a n , t a n ? x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c ??? dxxxxx )1( s e cs e ctans e c 2 ??? ?Result x dx3s e c? ? ? Cxxxx ???? tans e clntans e c21 Example Solution： Let Example ?? xxI d)ln(sinSo texex tt dd, ??tteI t dsin???tetsintetcos??? ttete tt dc o ssintsin?te? ? ??Itte t ??? )c o s( s inCtteI t ???? )c o s(si n21Cxxx ??? )]c o s(l n)[si n (l n21可用表格法求 多次分部積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution： Let 思考 1. 下述運算錯在哪里 ? 應如何改正 ? ? xxx dsi nco s??? xxx dsi nc o s1,1dsi nc o sdsi nc o s ??? ?? xxxxxx 得 0 = 1 答 : 不定積分是原函數族 , 相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . Cx ?? s i nln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example (先分部 , 再換元 ) )1(d ?xeLet ,1?? xeu So 112 ??uCuu ??? )a rc ta n(44機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution 1： Let (先換元 ,再分部 ) ,1?? xeu So )1ln (2 2uu ?? ?1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1?Solution 2： Let Integration of Rational Function )()()(xQxPxR ? ? nnn axaxa ??? ? ?110Rational Function : nm? Improper rational functions nm?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Proper rational functions Integration of Rational Function 有理函數 相除 多項式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式為 kk qxpxNxMaxA)(。)( 2 ???? )04,N( 2 ??? ? qpk若干部分分式之和 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example: 將下列真分式分解為部分分式 : Solution 1 用拼湊法 22 )1()1(1??? xxxx 2)1(1??x )(1?? xx2)1(1??x )1( ?? xx2)1(1??x 11?? x x1?)1( ?? xx)1( ?? xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 用賦值法 6532 ???xxx)3)(2(3????xxx2? xA3?? xB原式???? )2( xA 2?x 233 ???? xxx 5??原式??? )3( xB 3?x 323 ???? xxx 6?故 25??? x原式 36?? x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3) 混合法 ??? )1)(21(12xx ?? xA21 21 xCBx??原式??? )21( xA21??x54?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 C?? 541215461 CB ???52??B51?C原式 = x21 451 ???? ???? ?? 21 12 xx四種典型部分分式的積分 : CaxA ??? ln)1( ?n CaxnA n ???? ?1)(1? ? xax A ? ? xax A n d)(.2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ? ?? ? xqxpx NxM 2? ?? ? xqxpx NxM n d)(.4 2變分子為 )2(2 pxM ? 2 pMN ??再分項積分 ? ??? xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 ??? xxExample ? ?? ?? xxx xxI d45 52 243? ?? ?? xxx x d45 52 242? ?? ??? 45 )45d(21 2424xxxx45ln21 24 ??? xx 2a r c t a n21 x Cx ?a rc t a nSolution 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明 : 將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行 , 但不一定簡便 , 因此要注意根據被積函數的結構尋求 簡便的方法 . 常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example ? ?? xx d14)1( 2 ?x )1( 2 ?? x21? ?1d4x x2a rc t a n221 1xx ??21?221 ln 21 ?? xx21 ?? xxC?xxxx d12122121? ??? xxxx d12122121? ???? ??? 2)(21 21xx)d( 1xx ? ????2)(2121xx)d( 1xx ?注意本題技巧 按常規(guī)方法較繁 Solution 轉化 微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Differerntial Equation 解分離變量方程 xxfyyg d)(d)( ?可分離變量方程 )()(dd 21 yfxfxy ?0 )(d )( 11 ?? xNxxM yyNyM d)( )( 22分離變量方程的解法 : xxfyyg d)(d)( ?設 y＝ ? (x) 是方程①的解 , xxfxxxg d)(d)())(( ????兩邊積分 , 得 xxf d)(??① 則有恒等式 ② 則有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Example xxyy d3d 2?Integrate in both side So 13ln Cxy ??Cxy lnln 3 ??So 1CeCLe t ?