經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分微積分基本公式(已修改)
2025-08-31 08:39 本頁面
【正文】 一、問題的提出 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓 萊布尼茨公式 四、小結(jié) 思考題 第三節(jié) 微積分基本公式 變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21( )dTT v t t? 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度 )( tvv ? 是時(shí)間間隔 ],[ 21 TT 上 t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( ?tv ，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程 . 另一方面這段路程可表示為 )()( 12 TsTs ?一、問題的提出 21 21( ) d ( ) ( ) .TT v t t s T s T? ? ?? ).()( tvts ??其中 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設(shè)x 為 ],[ ba 上的一點(diǎn)， ( ) dxa f x x?考察定積分 ( ) dxa f t t? ?( ) ( ) d ,xax f t t?? ?稱為積分上限函數(shù)。 如果上限 x 在區(qū)間 ],[ ba 上任意變動(dòng)，則對于每一個(gè)取定的 x 值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在 ],[ ba 上定義了一個(gè)函數(shù)，記為 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) a b xyo定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) ( ) ( ) dxax f t t?? ?在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 ( ) ( ) d ( )xadx f t t f xdx?? ? ?? )( bxa ?? 積分上限函數(shù)的性質(zhì) xx ??證 ( ) ( ) dxxax x f t t??? ? ? ? ?)()( xxx ????????( ) d ( ) dx x xaaf t t f t t??????)(x?x?( ) d ( ) d ( ) dx x x xa x af t t f t t f t t??? ? ?? ? ?( ) d ,xxx f t t??? ?由積分中值定理得 xf ???? )(? 之間與介于 xxx ???xx ??? ?,0),(?fx ???? )(l i ml i m00?fxxx ????????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?x 如果 )( tf 連續(xù)， )( xa 、 )( xb 可導(dǎo)， 則 補(bǔ)充 ? ? )。()(d)(d d )( xbxbfttfx xb ????? ? ? ?( ) d ( ) ( ) 。axd f t t f a x a xdx? ????? ? ? ? ? ?() ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) .bxaxd f t t f b x b x f a x a xdx ?????證 ()()( ) ( ) dbxaxF x f t t? ?()0 ( )dbx f t t? ?()0( ) d ,axf t t? ?? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ??????? ?0 ( )( ) 0 ( ) dbxax f t t????例 1 求 21c os20dlim .txxetx???解 21c osdtxd etdx?? 2c os1d,x td etdx ??? ?)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21c os20dlimtxxetx???xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 例 2 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)00( ) d()( ) dxxtf t tFxf t t???在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 0( ) dxd tf t tdx ? ),( xxf?0( ) dxd f t tdx ? ),( xf?? ?0020( ) ( ) d ( ) ( ) d()( ) dxxxxf x f t t f x t f t tFxf t t?? ????? ?020( ) ( ) ( ) d( ) ,( ) dxxf x x t f t tFxf t t?? ???)0(,0)( ?? xxf? 0 ( ) d 0,x f t t???,0)()( ?? tftx? 0 ( ) ( ) d 0,x x t f t t? ? ??).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) .例 3 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 1)( ?xf . 證明 02 ( ) d 1xx f t t?? ? 在 ]1,0[ 上只有一個(gè)解 . 證 0( ) 2 ( ) d 1 ,xF x x f t t? ? ??,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?)( xF 在 ]1,0[ 上為單調(diào)增加函數(shù) .,01)0( ???F10( 1 ) 1 ( ) dF f t t?? ?10 [ 1 ( ) ] df t t??? ,0?所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一個(gè)解 .令 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) ( ) ( ) dxax f t t?? ?就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù) . 定理的重要意義： （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上
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