【正文】 多元函數(shù)積分學 考研輔導 多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函 數(shù)在不同幾何形體上的積分。 定積分 （一元函數(shù)在區(qū)間 上的積分） 可推廣為： 曲線積分 （多元函數(shù)在曲線上的積分） 曲面積分 （多元函數(shù)在曲面上的積分） n重積分 （ n元函數(shù)在 n維空間中的區(qū)域上的 積分） ? ?ba,幾種幾何形體上的積分： D 閉區(qū)間 [a,b] L ?（平面區(qū)域） （平面曲線） （曲面） ??（空間區(qū)域） （空間曲線） 如果 存在， 則稱這個極限為函數(shù) 在幾何形體 G上的積 分 ,記為 即 ? ?01l i m m a x { }ni i iiif p g g??? ?? ? ?? （ ）()fp? ?Gf p dg?? ? ? ?01l i mniiiGf p d g f p g? ? ????? 為了便于今后討論，當 G為不同的幾何形 體時，對應的積分都給出了固定的名稱和符 號 ? 當 G為平面有界閉區(qū)域（常記為 D）時，稱 為 二重積分 ， 記為 ? 當 G為空間有界閉區(qū)域（常記為 ）時，稱 為 三重積分 ， 記為 ??Ddyxf ?),(( , , )f x y z d v????? 當 G為平面有限曲線段（常記為 L）或空間有限曲線段（常記為 ）時，稱為 第一型曲線積分 （ 也稱為 對弧長的曲線積分 ）， 記為 ? 當 G為空間有限曲面片（常記為 ∑）時，稱為 第一型曲面積分 （ 也稱為 對面積的曲面積分 ）， 記為 ??Ldsyxf ),( ??dszyxf ),(( , , )f x y z d S???? 與定積分類似，當 在 G上連續(xù)時， 積分 必定存在。 ? 具有與定積分類似的性質(zhì)： 以二重積分為例，線性性，可加性，比較性， 估值性，積分中值定理 ?Gdgpf )(?Gdgpf )(? ?pf幾何形體上積分的物理意義 若一個非均勻物體，其形狀如上述幾何 形體 G，其密度為 G上的函數(shù) ，則在 G的 元素 dg上，其質(zhì)量應是 dg，于是該物體 的總質(zhì)量為 例如平面上非均勻薄片的質(zhì)量為 ? ?p?? ?p?()GM p d g?? ?? ? ?? dyxMD??? ,二重積分 一 .幾何意義 :以曲面 為曲頂?shù)那斨w 的體積 . 二 .計算 (求體積 )化為累次積分 (一 ).直角坐標系下的計算 : 設(shè) D（ X型）： 則 ? ? 0, ?? yxfz? ? ? ?12x y x ,???? a x b??21()()( , ) ( , )bxaxD f x y d x d y d x f x y d y????? ? ?? ?積分后先對 xyx0? ?? ?xyDxy21????y ba設(shè) D（ Y型）： 則 ? ? ? ?12y x y???? c y d??21()()( , ) ( , )dycyD f x y d x d y d y f x y d x????? ? ?? ?積分后先對 yx1()xy??2()xy??yxODdc 若 D不是 X型（或 Y型），則將 D分為幾個 區(qū)域，使它們?yōu)?X型（或 Y型），幾個區(qū)域上 的積分之和就是所給二重積分的值。 問題 : ? 選擇積分次序 ? 交換積分次序 例 1 求 解 X型 若 Y型 則積分較繁。 221 , : , 1 , 1DI y x y d D y x x y?? ? ? ? ? ? ??? 所圍.112213122 211112133xI d x y x y d yx y d xx??? ? ???? ? ? ? ??????: 1 , 1 1D x y y? ? ? ? ? ?1 2211 1yI d y y x y d x??? ? ???D 111? 0yx例 2 所圍成。 分析 若先 后 積分， 無法積分。 解 先 后 積分，（ Y型） 2 , : , 1 , 0yDI e d D y x y x?? ? ? ???yxxy : 0 , 0 1D x y y? ? ? ?? ?22221100 0 01120011122y yyyyyI d y e d x e x d yy e d y e d y e? ? ?? ? ? ?? ? ???11yx0D2110yxI dx e dy? ??例 3 交換二次積分的順序 分析 要將按 X型域確定積分限改為按 Y型域確定 積分限。為此，應根據(jù)定限的方法先將題中所給 的積分限還原成平面區(qū)域 D，然后再按 Y型域重新 確立積分限，得到二次積分 . 1 2 20 0 1 0( , ) ( , )xxdx f x y dy dx f x y dy??? ? ? ?解 將所給積分限還原成 D的圖形，由 其中 知 D是由 y=x， y=2－ x， y=0三條直線所圍成， 于是按 y型域定限 得 12D D D??1 : 0 , 0 1D y x x? ? ? ?2 : 0 2 , 1 2D y x x? ? ? ? ?: 2 , 0 1D y x y y? ? ? ? ?1 2 20 0 1 0120( , ) ( , )( , )xxyyd x f x y d y d x f x y d yd y f x y d x????? ? ? ???2012DD11xy例 4 設(shè) 在 上連續(xù)，證明 證 由等式左邊，得 改變積分順序，得 所以， 左邊 右邊 0 0 0( ) ( ) ( )c y cd y f x d x c x f x d x??? ? ?? ?fx ? ?0,c: 0 , 0D x y y c? ? ? ?00 ( ) ( ) ( )c c cxdx f x dy c x f x dx? ? ? ?? ? ?: , 0D x y c x c? ? ? ?(二 )極坐標計算二重積分 極坐標是由極點和極軸組成，坐標 ，其 中 r為點 p到極點 o的距離， 為 or到 op的夾角。 r =常數(shù)；（從 o出發(fā)的同心圓） =常數(shù)；（射線） 直角坐標與極坐標的關(guān)系為： ? ?,r?0 , 0 2r ??? ? ? ? ? ???c o ss inxryr????? ??O ??( , )p??在極坐標下，面積元素為 由直角坐標和極坐標的對應關(guān)系，于是