[理學(xué)]微積分ppt課件(已修改)
2024-12-20 00:51 本頁面
【正文】 微積分基本定理 (79) 3 變速直線運(yùn)動問題 變速直線運(yùn)動中路程為 21( )dTT v t t?設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度 )( tvv ? 是時 間間隔 ],[ 21 TT 上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，且 0)( ?tv , 求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 . 另一方面這段路程可表示為 )()( 12 TsTs ? 原函數(shù)存在定理 21 21( ) d ( ) ( ) ,TT v t t s T s T? ? ?? ).()( tvts ??其中 微積分基本定理 (79) 4 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設(shè) x 為],[ ba 上的一點， ( ) d ( ) d .xxaaf x x f t t???考察定積分 ( ) ( ) d .xax f t t?? ?如果上限 x 在區(qū)間 ],[ ba 上任意變動，則對每個取定的 x 值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在 ],[ ba上定義了一個函數(shù)，稱為 積分上限函數(shù) ，記為： 積分上限函數(shù) 微積分基本定理 (79) 5 a b xyo定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限函數(shù)( ) ( ) dxax f t t?? ? 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 d( ) ( ) d ( )dxax f t t f xx?? ? ?? . xx ??證 ( ) ( ) dxxax x f t t??? ? ? ? ?)()( xxx ????????( ) d ( ) dx x xaaf t t f t t??????)(x?x)( xfy ? 微積分基本定理 (79) 6 ?( ) d ( ) d ( ) dx x x xa x af t t f t t f t t??? ? ?? ? ?( ) d ,xxx f t t??? ?由積分中值定理得 xf ???? )(? ],[ xxx ????xx ??? ?,0),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?x]),[( xxx ????或 微積分基本定理 (79) 7 如果 )( tf 連續(xù)， )( xa 、 )( xb 可導(dǎo)， 則()()( ) ( ) dbxaxF x f t t? ?的導(dǎo)數(shù) )( xF ? 為 補(bǔ)充 ? ? ? ? )()()()( xaxafxbxbf ????證 0 ( )( ) 0( ) ( ) d ( ) dbxaxF x f t t f t t????()0 ( )dbx f t t? ? ()0 ( )d ,ax f t t? ?? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????()()d( ) ( ) ddbxaxF x f t tx? ? ? 微積分基本定理 (79) 8 例 1 求極限 21c o s20edlim .txxtx???解 21c o sd eddtxtx ?? 2c o s1d e d ,dx t tx??? ?2c o se ( c os )x x? ?? ? ? 2c ossi n e ,xx ???21c o s20edlimtxxtx??? 2c o s0s in elim2xxxx???? 1.2e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 微積分基本定理 (79) 9 例 2 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)00( ) d()( ) dxxt f t tFxf t t???在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 0d ( ) ddx tf t tx ?),( xxf?0d ( ) ddx f t tx ?),( xf?? ?0020( ) ( ) d ( ) ( ) d()( ) dxxxxf x f t t f x tf t tFxf t t?? ???? 微積分基本定理 (79) 10 ? ?020( ) ( ) ( ) d( ) ,( ) dxxf x x t f t tFxf t t?? ???)0(,0)( ?? xxf?0( ) d 0,x f t t???,00,0)()( xttftx ???? ，且不恒為又 ?0 ( ) ( ) d 0 ,x x t f t t? ? ?? ).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 微積分基本定理 (79) 11 例 3 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 1)( ?xf . 證明 02 ( ) d 1xx f t t?? ?在)1,0(內(nèi) 只有一個解 . 證 0( ) 2 ( ) d 1 ,xF x x f t t? ? ??,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?)( xF 在 ]1,0[ 上為單調(diào)增加函數(shù) .,01)0( ???F10( 1 ) 1 ( ) dF f t t?? ?10 [ 1 ( ) ] df t t???,0?所以 0)( ?xF 即原方程在 )1,0( 內(nèi)只有一個解 . 令 微積分基本定理 (79) 12 定理 （ 原函數(shù)存在定理 ） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限 函數(shù)( ) ( ) dxax f t t?? ?就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個原函數(shù) . 定理的 重要 意義： （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 微積分基本定理 (79) 13 定理 2（ 微積分基本定理 ） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個原函數(shù)，則 ( ) d ( ) ( )baf x x F b F a???. 又 ? ( ) ( ) dxax f t t?? ?也是 )( xf 的一個原函數(shù) , ? 已知 )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，證 牛頓 — 萊布尼茨公式 微積分基本定理 (79) 14 令 ax? ,)()( CaaF ????( ) ( ) d 0aaa f t t? ? ?? ,)( CaF ??( ) d ( ) ( ) ,xa f t t F x F a? ? ??( ) ( ) d ,xaF x f t t C???令 ?? bx( ) d ( ) ( ) .ba f x x F b F a???牛頓 — 萊布尼茨公式 CxxF ???? )()( ],[ bax ? 微積分基本定理 (79) 15 ( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a???微積分基本定理表明： ? ?baxF )(? 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的增量 .注意 : ( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a??? 仍成立 . 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題 . 當(dāng) ba ? 時 ， baxF )(? 微積分基本定理 (79) 16 例 4 求定積分 20 ( 2 c o s s in 1 ) d .x x x? ???原式 ? ? 20co ssi n2 ?xxx ??? .23 ???例 5 設(shè) , 求 . ????????215102)(xxxxf20 ( )df x x?解
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