多元線性回歸課件(已修改)
2025-02-01 03:41 本頁面
【正文】 第二章 多元線性回歸 167。 為了研究y與1 , txx之間的關(guān)系，首先必須收集 n 組獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù) , ),( 1 iiti yxx ?， ni ,2,1 ?? 并假定它們之間有如下關(guān)系式： 0 1 121 , 2 , ,( 0 , )i i t i t iiy x x i nN? ? ? ???? ? ? ? ? ???? 各 相 互 獨(dú) 立 且 同 分 布 服 從 為了方便起見，多元回歸分析常采用矩陣形式來表示，并通過矩陣的性質(zhì)來研究參數(shù)及其他性質(zhì)。記 : ???????????????nyyyY?21 ???????????????t?????10 ???????????????ntttnxxxxxxY2112111111???? ???????????????n?????21 則模型可表示為 ??? ??),0(~2nINXY???? 稱 Y 為隨機(jī)變量的觀測(cè)向量，?為未知參數(shù)向量， X 為結(jié)構(gòu)矩陣，?為隨機(jī)誤差向量，nI為單位矩陣。顯然，由假設(shè)可知： ),(~ 2 nIXNY ?? 167。 參數(shù)的最小二乘估計(jì) 和一元線性回歸一樣，仍采用最小二乘法去估計(jì)參數(shù)t??? , 10 ? 。令： 20 1 11( ) ( )( ) 39。 ( )ni i t itiQ y x xY X Y X? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? 則 各?的 LS 估計(jì)??，滿足 ?()Q ?=m in ( ) m in ( ) 39。 ( )Q Y X Y X??? ? ?? ? ? 根據(jù)微積分原理， ??| 39。 39。 ( 39。 39。 ) 0Q X Y X Y X X X X??????? ? ? ? ? ?? 整理可得正規(guī)方程組： ?39。39。X X X Y? ? 當(dāng)1)( ??XX存在時(shí)， ? 的最小二乘估計(jì)為： YXXX ??? ? 1)(?? 為了方便 , 我們定義 : ? XXA ?? 為正規(guī)方程組的系數(shù) 矩陣 ，為)1( ?t階方陣； ? YXB ?? 為正規(guī)方程的常數(shù)項(xiàng) 矩陣 ，為? ?1?t維向量矩陣； ? 11 )( ?? ??? XXAC為相關(guān)矩陣，為)1( ?t階方陣。 例 2 . 1 用矩陣形式寫出如下一元線性回 歸模型： ??? ???),0(~..~ 210?????Ndiixyiiii ni ,2,1 ?? 并用矩陣形式求出10 , ??的最小二乘估計(jì)。 解：記： ???????????????nyyyY?21 ?????????10??? ???????????????nxxxX??21111 ???????????????n?????21 則可記為 : ??? ??),0(~2nINXY???? , 并且有： ??? XXA???????????2iiixxxn ??? YXB??????????iiiyxy ?? ? 1AC????????????????????????? nxnxnxnlnxnxnxxnxnixxii22221)(1 故： ?? CB?????????? ??????????????????????xxxyiiixxllxyyxynnxnxnxnl /?1 12? 例 下面的模型稱為 t 元中心化線性回歸模型： 0 1 1 12( ) ( )~ ( 0 , )i i t it t iiy x x x xi i d N? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????各ni ,2,1 ?? 寫出模型相應(yīng)的 矩陣 , , , ,X Y A B C ，并求出模型參數(shù)的 最小二乘估計(jì)。 記： ???????????????nyyyY?21 ???????????????t?????10 ?????????????????????tntttttnxxxxxxxxxxxxX2111121111111???? ???????????????n?????21 則模型可
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