多元線性回歸模型的參數(shù)估(已修改)
2025-05-30 23:13 本頁面
【正文】 167。 多 元線性回歸模型的估計 估計方法： OLS、 ML或者 MM 一、普通最小二乘估計 *二、最大或然估計 *三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題 六、估計實例 一、普通最小二乘估計 對于隨機(jī)抽取的 n組觀測值 (Yi , X ji ), i = 1,2, , n, j = 0,1,2, k 如果 樣本函數(shù) 的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則 ? ? ? ? ? 有： Yi = ? 0 + ?1 X 1i + ? 2 X 2i + + ? ki X Ki i=1,2…n () 普通最小二乘估計 i ? 根據(jù) 最小二乘原理 ，參數(shù)估計值應(yīng)使得剩余平方 和達(dá)到最小， min Q = min ? e2 = ? (Yi Yi )2 即 i + ? k X ki )]2 min ? e2 = ?[Yi ? (? 0 + ? 1 X1i + () ??2? ?Yi ? (?1 + ?2 X 2i + ?3 X 3i + ... + ?ki X ki )? = 0 ? X1i ? ?)ki ? = 0 ???2? X ki ? ?? = 0 ?Yi ? (? 0 1 X1i + + ? k X ki ) 利用微積分知識，只要求 Q關(guān)于待估參數(shù)的偏導(dǎo) 數(shù) ，并令其值為零，即 ? , k ) = 0 ( j = 0,1, ?(? ei2 ) ?? j 就得到待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組： ? ??2 ?Yi ? (? 0 + ? 1 X1i + + ? k X ? ? ? + ?(*) ?? (? 0 + ? 1 X1i + ?? (? 0 + ? 1 X1i + ??? (? 0 1 X1i + + ? 在 (*)式中，移項得： ? ? ? ? 解這個 k＋ 1個方程組成 的線性代數(shù)方程組，即可 得到 k＋ 1個待估參 數(shù)的估計值 + ? k X ki ) = ?Yi + ? k X ki )X1i = ?Yi X1i + ? k X ki )X ki = ?Yi X ki ? j ( j = 0,1, , k ) () ? ? ? X 1i ? X ?? ? 0 ? ? 1 ? ? X 1i X ki ?? ?1 ? ? X 11 ? X ki ?? k ? ?? X k 1 ?? ?? ? 1 ?? Y1 ? ?? Y ? ()的正規(guī)方程組 的 矩陣形式 ?? ? ? ?? ? = ? ? ? X ? X ? X ki ? n ? ? ? ? X ki ?? ? X 1n ?? Y2 ? ?? ? ?? ? X kn ?? n ? ki 2 1i 2 1i X 1i 1 X 12 X k 2 ? 即 (X?X)β= X?Y ? 由于 X’X滿秩 ，故有 β= (X?X) ?1 X?Y ? () () ) )? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 將上述過程用 矩陣表示 如下： 即求解方程組： (Y ? Xβ ?(Y ? Xβ = 0 ? β ? ? ? ? ?β (Y?Y ? 2Y?Xβ+ βX?Xβ = 0 ?β ? X?Y + X?Xβ= 0 ? X?Y = X?Xβ ?β= (
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