定積分在幾何學上的應用(1)(已修改)
2025-05-11 06:12 本頁面
【正文】 1 第八節(jié) 定積分在幾何上的應用 第六章 定積分的應用 建立積分模型的微元法 求平面圖形的面積 求空間立體的體 積 求平面曲線的弧長與曲率 旋轉體的側面積 小結 思考題 作業(yè) 2 究竟哪些量可用定積分來計算呢 . 首先討論這個問題 . 結合曲邊梯形面積的計算 一、建立積分模型的微元法 可知 , 用定積分計算的量 應具有如下 及定積分的定義 許多部分區(qū)間 , (即把 [a, b]分成 兩個特點 : (1) 所求量 I 即與 [a, b]有關 。 (2) I 在 [a, b]上具有可加性 . 則 I 相應地分成許多部分量 , 而 I 等于所有部分量之和 ) 定積分的幾何應用 3 按定義建立積分式有 四步曲 : “分割、 ? ?? ba xxfI d)(有了 NL公式后 , 對應用問題來說 關鍵 就在于 方法 簡化步驟 如何寫出 被積表達式 . inii xf ????)(lim10??得到 這個復雜的極限運算問題得 到了解決 . xxf d)( xxfI d)(d ?)1(是所求量 I 的微分 .iI??于是 , 稱 xxfI d)(d ? 為量 I 的 微元 或 元素 . 取近似、 求和、 取極限 ” , 定積分的幾何應用 4 元素法 或 微元法 . 簡化步驟 (1) 由具體情況選取一個變量 ,如 ,為積分變量 , 并確定它的變化區(qū)間 ? ?,abx( 2 ) [ , ] [ , d ] ,a b x x x?在 上 任 取 一 小 區(qū) 間求出這一小區(qū)間上的部分量的近似值 ,即 ( ) d .I f x x?? 記為 : ( ) d .d I f x x?(3) 以 dI 為被積表達式在 ? ?,ab 上作定積分 , 得 : ( ) dbbaaI dI f x x????這種簡化了的建立積分式的方法稱為 定積分的幾何應用 5 O xya b)( xfy ??x xx d??bxaxxfy ??? 、直線設曲邊梯形由 )(.軸圍成與 x這個小區(qū)間上所 對應的小曲邊梯形面積 面積元素 xxfA d)(d ?(3)得 曲邊梯形面積的積分式也可以用 元素法 建立如下 . ?A xxf d)(?ba近似 地等于長為 f(x)、寬為 dx 的 小矩形面積 , 故有 Adxxf d)((1) 選 x為積分變量 , ? ?,x a b?( 2 ) [ , ] [ , d ] ,a b x x x?在 上 任 取 一 小 區(qū) 間定積分的幾何應用 6 二、求平面圖形的面積 回憶 ?ba xxf d)( 的幾何意義 : ,0)(],[ ?xfba 內若在 的值則 ? ba xxf d)(軸之間與等于介于 xbxaxxfy ??? ,),(曲邊梯形的面積 . 啟示 一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以 用定積分來計算 . 定積分 下面曲線均假定是 連續(xù) 曲線 . 注 定積分的幾何應用 7 O xy,],[ 上設在區(qū)間 ba,)( 的上方xgy ? ),()( xgxf ? 求這兩條曲線 及直線 bxax ?? , 所圍成的區(qū)域的 面積 A. )( xgy ?)( xfy ?a b的 面積元素 dA為 它對應 ?Ad? ?? xxgxfA d)]()([(1) ? ?)()( xgxf ? xd?ab位于曲線曲線 )( xfy ?即 A x xx d?選 x為積分變量 , ? ?,x a b?? ?[ , d ] , ,x x x a b? ? ?定積分的幾何應用 8 (2) 如果 ( ) , ( )f x g x 的相對位置不定 ,則 ( ) ( )baA f x g x d x???)( xfy ? )( xgy ?O xya b(3) 特別 ( ) 0gx ? 時 ,有 ()baA f x dx? ?注意 : 此時的 A表示圖形的面積真值 ,而 ()baf x dx?表示曲邊梯形面積的代數和 . 定積分的幾何應用 9 例 1 求由拋物線 2yx? 與直線 2yx?? 所圍成的圖形的面積 . 定積分的幾何應用 10 (4) 由曲線 ))()(( ygyf ?和直線 dycy ?? , 所圍成的區(qū)域的 面積 A. 它對應 的 面積元素 dA為 ? ? yygyfA d)()(d ??? ?? yygyfA d)]()([cd)( ygx ?)( yfx ?yyy d?)(),( ygxyfx ??cdAO xy選 y為積分變量 , ? ?,y c d?? ?[ , d ] , ,y y y c d? ? ?定積分的幾何應用 11 (5) 設所給曲線由參數方程給出 : (),()xttyt??????? ??介 于 之 間? ? ? ?? ?( ) , ( ) , ,tt? ? ? ? ? ?且 在 或上有連續(xù)導數 , ( ) 0 , ( ) 0 ,tt??? ?? ( ) , ( ) ,ab? ? ? ??記 =則 b
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