[理學(xué)]第八節(jié)定積分的幾何應(yīng)用舉例(已修改)
2024-12-20 01:13 本頁面
【正文】 第八節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例 一、元素法 二、平面圖形的面積 三、體積 四、平面曲線的弧長 回顧 曲邊梯形求面積的問題 ?? ba dxxfA )(一、元素法 曲邊梯形 由連續(xù)曲 線)( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成。 a b x y o )( xfy ?面積表示為定積分的步驟如下 (1) 把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個長度為ix?的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形 被分為 n 個小窄曲邊梯形，第 i 個小窄曲邊梯形的面積為iA?， 則 ????niiAA1. （ 2 ）計算 iA? 的近似值iii xfA ??? )(? ii x???（ 3） 求和，得 A的近似值 .)(1iinixfA ?? ???a b x y o )(xfy ?（ 4） 求極限，得 A的精確值 iinixfA ?? ???)(l i m10?? ??ba dxxf )(提示 若用 A? 表示任一小區(qū)間],[ xxx ?? 上的窄曲邊梯形的面積，則 ? ?? AA ，并取 dxxfA )(?? ，于是 ?? dxxfA )(?? dxxfA )(lim .)(?? ba dxxf x dxx ?dA面積元素 (1) A 是與一個變量 x 的變化區(qū)間 [a,b] 有關(guān)的量 ； (2) A 對于區(qū)間 [a,b] 具有可加性， 如果把區(qū)間 [a,b]分成許多部分區(qū)間 , 則 A 相應(yīng)地 分成許多部分量 , 而 A 等于所有部分量之和； iA? ii xf ?)(?(3) 部分量 的近似值可表示為 。 就可以考慮用定積分來表達這個量 A . 一個量以定積分來表達 ,關(guān)鍵是第三步 , 即 :確定 部分量的近似值 iU?當(dāng)所求量 A (非均勻分布量 )符合下列條件： 元素法的一般步驟： 1. 根據(jù)問題的實際意義 , 確定一個積分變量及 其變化區(qū)間 [a , b ] . 2. 設(shè)想把區(qū)間 [a,b]任意地分為 n 個小區(qū)間 , 任取一個小區(qū)間記為 [x, x+dx],求出相應(yīng)于這個區(qū)間的部分量 ?A的近似值 ， 如果 ?A可表示為 [a,b]上的一個連續(xù)函數(shù) f(x) 與 dx 的乘積 f(x)dx , 并且 ?A 與 f(x)dx 的差僅相差一個比 dx 高階的無窮小 ， 這時 f(x)dx 稱為 A 的元素 ， 記為 dA。 這個方法通常叫做 元素法 ． 應(yīng)用方向 ： 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等． 3. 以 A 的元素 dA=f(x)dx 為被積表達式在 [a,b]上作定積分即得所求的量 A. .d)(?? ba xxfA即xyo)( xfy ?a b xyo)(1 xfy?)(2 xfy ?a b曲邊梯形的面積 ?? ba xxfA d)(曲邊梯形的面積 ? ?? ba xxfxfA d)]()([ 12二、平面圖形的面積 直角坐標系情形 x xxx d? xx d?例 1 計算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點 )1,1()0,0(面積元素 xxxA d)(d 2??選 為積分變量 x ]1,0[?xxxxA d)( 210 ?? ?10333223?????? ?? xx.31?2xy?2yx?步驟： 1. 根據(jù)題意畫出平面圖形 . 3. 寫出微元 dA . 2. 確定一個積分變量及其變化區(qū)間 [a , b ] . 4. 求出 .d?? ba AA通常要先求出邊界曲線的交點 . 例 2 計算由曲線 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點 ).9,3(),4,2(),0,0( ????????23 6xyxxy選 為積分變量 x ]3,2[??x],0,2[)1( ??x xxxxA d)6(d 231 ???],3,0[)2( ?x xxxxA d)6(d 322 ???2xy?xxy 63 ??于是所求面積 21 AAA ??xxxxA d)6( 20 2 3 ??? ?? xxxx d)6(
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