定積分的簡單應用李用(已修改)
2025-05-11 05:34 本頁面
【正文】 定積分的簡單應用 定積分在幾何中的應用 ?? ba dxxfA )( ? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12 : ( ) ( ) | ( ) ( )b baaf x dx F x F b F a? ? ??[其中 F180。(x)=f(x)] xyo)( xfy ?a bA xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a bA : 一、復習 因為 f(x)在 [a,b]內連續(xù) 是 f(x)的一個原函數(shù) . 又 F(x)是 f(x)的原函數(shù)， ∴ F(x)= + x=a,則由 得到 C=F(a) 移項得 令 即得 ? xa f (t)d t? xa f (t)d t? aa f (t) d t = 0? ?? xa f ( t ) d t = F ( x ) F a? ? ? ? ? ?? bax = b , f x d x = F b F a .證明： O x y a b y?f (x) x?a、 x?b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f ( x ) ? 0 時，積分 dxxfba)(? 在幾 何 上 表示由 y = f ( x ) 、 當 f(x)?0時 積分 ? baf ( x ) dx 在幾何上表 示 由 y?f (x)、 x?a、 x?b與 x 軸所圍成的曲邊梯形面積的負值 x y O a b y?f (x) ?ba f ( x )dx ??ca f ( x )dx ? ?bc f ( x )dx 。 ??S ?ba f ( x )dx ??ca f ( x )dx ? ?bc f ( x )dx 。 =s 的幾何意義 : ()ba f x dx?類型一 .求由一條曲線 y=f(x)和直線 x=a,x=b(ab)及 x軸所圍成平面圖形的面積 S ???? ????? bccabcca dxxfdxxfdxxfdxxfS )()()(|)(| )3(?? ba dxxfS )( )1(??? ba dxxfS )( )2((2) x y o a b c )(xfy?(3) (1) x y o )( xfy ?a b練習 . 求拋物線 y=x21，直線 x=2， y=0所圍成的 圖形的面積。 y x 解：如圖：由 x21=0得到拋物線與 x軸的交點坐標是 (1,0)， (1,0).所求面積如圖陰影所示： 所以： ?? ? ???? 1 1 221 2 )1()1( dxxdxxS38)3()3(113123??????xxxx類型一：由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解 類型 2：由兩條曲線 y=f(x)和 y=g(x)，直線x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積 S y x o b a )(xfy?)(xgy? (2) )(xfy?)(xgy?(1) 總結 ： 當 x ∈ [ a ， b ] 有 f ( x ) g ( x ) 時，由直線 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b )和曲線 y ＝ f ( x ) ， y ＝ g ( x ) 圍成的平面圖形的面積 S ＝ . ? ? ? ?baf x g x d x??????注 ： 例 1. 計算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 圍成 圖形的面積 . 解 :作出 y2=x,y=x2的圖象如圖所示 : 即兩曲線的交點為 (0,0),(1,1) ? 1 20S = ( x x ) d x 32 3 102( ) |33xx?? .31?邊 邊曲 梯 形 OA BC 曲 梯 形 OABDS = S So x y 2yx?2yx?2xy ?yx?A B C D O 11 200x dx x dx??????????????????????11002 yxyxxyxy 或解方程組 兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算 求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟 : (1)作出示意圖 。(弄清相對位置關系 ) (2)求交點坐標 。(確定積分的上限 ,下限 ) (3)確定積分變量及被積函數(shù) 。 (4)列式求解 . 例 2 計算由曲線 2yx? ， 直線 4?? xy 以及 x 軸 所圍成的圖形的面積 . 解 : 兩曲線的交點 ( 0 , 0 ) , ( 8 , 4 ) .?24yxyx? ???????直線與 x軸交點為 (4,0) 2yx?4yx??880424 ()x d x x d x? ? ???S1 S2 4 8 812 0 4 42 2 4[ ( ) ]S S S x dx x dx x dx? ? ? ? ? ?? ? ?4 8 80 4 42 2 4( ) ( )x dx x dx x dx? ? ? ?? ? ?38 2 82042 2 1 4 043 2 3| ( ) |x x x? ? ? ?802 12 4 8 42 ()s x d x? ? ? ? ??法 ：382022 83|x??2 2 4 01 6 2 833? ? ? ?4 201432[ ( ) ]s y y d y法 ： ? ? ??2 3 4011426( ) |y y y? ? ?231 1 4 04 4 4 42 6 3? ? ? ? ? ? ?212xy?4xy??X型求解法 Y型求解法 練習 1 （ 例 2 變式題） ： 計算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 解 : 兩曲線的交點 ).4,8(),2,2( ????????422xyxyxy
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