高等數(shù)學(xué)定積分微積分學(xué)基本定理(已修改)
2025-09-09 09:08 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁167。 5 微積分學(xué)基本定理 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理 , 并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性 . 在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法 . 三、泰勒公式的積分型余項 二、換元積分法與分部積分法 返回返回 后頁 前頁 返回后頁前頁一、變限積分與原函數(shù)的存在性 [ ] [ ] , [ ]f a , b x a , b f a , x設(shè) 在 上可積, 則 在 上??積分 。 類似稱 ( ) ( ) dbxx f t t? ? ?為變下限的定積分 . 定理 ( 變上限定積分的連續(xù)性 ) [ ] ,f a , b若 在 上可積 ( ) ( ) d [ , ]xax f t t a b?則在 ? ?],[ bax ??證 ],[ baxx ?? ?若 則 .上連續(xù)( ) ( ) d , [ , ]xax f t t x a b?稱 ???為變上限的定 .可 積返回 后頁 前頁 返回后頁前頁Δ ( ) d ( ) dx x xaaf t t f t t?? ????? .d)(? ?? xxx ttf?[ ] ,f a , b因 在 上有界 , | ( ) | , [ , ] .M f t x a b?故 ? ? ?于是 | Δ | ( ) d | Δ |,xxx f t t x??? 從 而????定理 （微積分學(xué)基本定理 ) 若 f 在 [a, b] 上連續(xù) , ( ) ( ) d [ , ]xax f t t a b? ? ?則 在上處處可導(dǎo) ,且 ? ? ? ??d( ) ( ) d ( ) , [ , ] .d xax f t t f x x a bx?由 x 的任意性 , f 在 [ a, b ] 上連續(xù) . Δ 0lim Δ ?? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁證 [ , ] , Δ 0, Δ [ , ] ,x a b x x x a b? ? ? ? ?當(dāng) 且 時ΔΔ 1 ( ) dΔ Δxxx f t txx? ?? ? ),( xxf ??? ?0 1 .???由于 f 在 x 處連續(xù)，因此 Δ 0( ) li m ( Δ ) ( ) .xx f x x f x?? ?? ? ? ?注 1 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個表面上似 續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)” 這個重要結(jié)論 . 乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系 , 也證明了 “連 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁注 2 由于 f 的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù) , ( ) ( ) d .xaF x f t t C???( ) 。x a F a C x b用 代入, 得 再用 代入, 則得? ? ?( ) d ( ) ( ) .ba f t t F b F a???定理 (積分第二中值定理 ) 設(shè) f 在 [a, b]上可積 . (i) 若函數(shù) g 在 [a, b] 上單調(diào)減 ,且 ,0)( ?xg 則存 [ , ] ,ab? ?在使 .d)()(d)()( ?? ? ?aba xxfagxxgxf所以當(dāng) f 為連續(xù)函數(shù)時 , 它的任一原函數(shù) F 必為 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁(ii) 若函數(shù) g 在 [a, b] 上單調(diào)增 , 且 ,0)( ?xg 則存 [ , ] ,ab? ?在使 ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bba f x g x x g b f x x????證 這里只證 (i), 類似可證 (ii). 證明分以下五步 : (1) 對任意分割 T： ,10 bxxxa n ????????( ) ( ) dbaI f x g x x? ?11( ) ( ) diin xxif x g x x??? ? ?111( ) [ ( ) ( ) ] diin xixif x g x g x x?????? ?.21 II ??111( ) ( ) diin xi xig x f x x???? ? ?( 2 ) | ( ) | , [ , ] ,f x L x a b 故因 ??返回 后頁 前頁 返回后頁前頁1111| | ( ) [ ( ) ( ) ] diin xixiI f x g x g x x?????? ?111| ( ) | | ( ) ( ) | diin xixif x g x g x x??????? ?1Δ .ngiiiLx??? ?01, : ,ng T a x x x b因 可積 故 使? ? ? ? ? ? ? ? ?1Δngiiix L????? 1| | .I ???2 1 11( ) [ ( ) ( ) ]ni i iiI g x F x F x??????0 1 0( ) [ ( ) ( ) ]g x F x F x? ? ? ? ? ?)]()()[( 11 ?? ?? nnn xFxFxg( 3 ) ( ) ( ) d ,xaF x f t t設(shè) 則? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁11, ( ) 0 , ( ) ( ) 0 .n i ig g x g x g x由對 的假設(shè) 記??? ? ?1 0 1( ) [ ( ) ( ) ]F x g x g x? ? ? ???.)()()]()()[(1111????? ???niniii xgbFxgxgxF)()()]()()[( 1121 ???? ??? nnnnn xgxFxgxgxF( , )min { ( ) } ,x a bm F x?? ( , )m a x { ( ) } ,x a bM F x??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI M g x g x M g x M g a則????? ? ? ??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI m g x g x m g x m g a????? ? ? ??返回 后頁 前頁 返回后頁前頁(4) 綜合 (2), (3), 得到 12( ) ( ) .mg a I I M g a??? ? ? ? ?0 , ( ) ( ) .mg a I M g a?令 便得? ? ?( 5 ) ( ) 0 , ( ) ( ) d 0 ,bag a I f x g x x若 則 此時任取? ? ??[ , ] ,ab? 滿足? ( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????).()( 2 aMgIamg ??于是( ) 0 ,ga若則? .)( Mag Im ?? ( ) ( ) dxaF x f t t由 ? ?返
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