【微積分】定積分的換元法與分部積分法(已修改)
2025-05-11 04:54 本頁面
【正文】 定理 假設（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)；（ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導數(shù)；（ 3 ）當 t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( .第七節(jié) 定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法 證 設 )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，),()()( aFbFdxxfba ???則? ??)]([ tF ?? )()]([ ttF ?? ??? ),()]([ ttf ? ???)]([)]([)()]([ ???????? FFdtttf ????)]([ tF ?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) . )()( aFbF ?? dxxfba?? )(應用換元公式時應注意 : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) )( t? 后，不必象計算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時，積分限 也 相應的改變 . 例 1. 計算 解 : 令 ,si n tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。0,0 ?? tx 時當 ., 2π?? tax 時∴ 原式 = 2atta d)2c o s1(2 2π02? ??)2s i n21(22tta ??02π?2π0 tt dco s 2O22 xay ??xya且 例 2. 計算 解 : 令 ,12 ?? xt 則 ,dd,212 ttxtx ???,0 時當 ?x ,4 時?x .3?t∴ 原式 = ttttd231 212? ??tt d)3(21 31 2? ??)331(21 3 tt ?? 13。1?t且 例 3 解 .s i ns i n0 53? ? ? dxxxxxxf 53 s i ns i n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?? ? ?? 0 53 s i ns i n dxxx ? ?? ?? 0 23s inc os dxxx? ?? ?? 20 23s inc o s dxxx ? ?? ???223s inc o s dxx? ?? ?? 20 23 s ins in xdx ? ?? ???223s ins in xdx? ? 2025s i n52?? x ? ????225s i n52 x.54?例 4 計算 解 .)ln1(ln43? ?e e xxx dx原式 ? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd???432)ln(1ln2 ee xxd? ? 43)lnarcs i n
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