第一換元積分法(湊微分法)(已修改)
2025-08-13 15:27 本頁面
【正文】 一 、 第一換元積分法 (湊微分法 ) 直接驗(yàn)證得知 ,計(jì)算方法正確． 例 1 求 xx de 3? . 解 被積函數(shù) x3e 是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式 ，我們可以把原積分作下列變形后計(jì)算 ： ? ?? Cx xx ede?? ?? xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令? ?? Cu uu e31de31回代31 Cx ?3e . 例 2 求 xx x de2 2? ． 解 注意到被積式中含有 2e x 項(xiàng) , 而余下的部分恰有 微分關(guān)系： 22 d d ( )x x x? ．于是類似 于例 1, 可作如下變 換和計(jì)算： 167。 ６ .２ 換元積分法 .eede)(dede2 22222 CCuxuxxx xuuxx ????? ??? 回代令上述解法的特點(diǎn)是引入新變量 )( xu ?? , 從而把原積分化為關(guān)于 u 的一個(gè)簡單的積分， 再套用基本積分公式求解 , 現(xiàn)在的問題是，在公式 ? ?? Cx xx ede 中，將 x 換成了 )( xu ?? , 對應(yīng)得到的公式 ? ?? Cu uu ede 是否 還成立 ?回答是肯定的 ,我們有下述定理： 定理 如果 ? ?? CxFxxf )(d)( ，則 .)(d)(? ?? CuFuuf其中 )( xu ?? 是 x 的任一個(gè)可微函數(shù)． 證 由于 ? ?? CxFxxf )(d)( , 所以xxfxF d)()(d ? ．根據(jù)微分 形式不變性 , 則有： uufuF d)()(d ? ．其中 )( xu ?? 是 x 的可微函數(shù)，由此得 .)()(dd)(? ? ??? CuFuFuuf 這個(gè)定理非常重要，它表明：在基本積分公式中， 自變量 x 換成任一可微函數(shù) )( xu ?? 后公式仍成立． 這就大大擴(kuò)充了基本積分公式的使用范圍．應(yīng)用這一結(jié)論， 上述例題引用的方法 , 可一般化為下列計(jì)算程 序： )()(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf ????? ?? ?? 令湊微分 .)]([)(d)( CxFCuFuuf ??? ?回代 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法． 例 3 求 ? xxx ds incos 2 . 解 設(shè) ,cos x
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