【正文】 多元函數(shù)微分法講義第十章 多元函數(shù)微分學(xué)167?！《嘣瘮?shù)：一、平面點(diǎn)集定義：把全體有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，稱為二維空間，記為（或），（實(shí)際上這里的二維空間的概念就是解析幾何中的二維空間概念）。下面我們看一看這里的二維空間有一個(gè)什么樣的幾何意義，顯然都唯一對(duì)應(yīng)著直角坐標(biāo)平面的一個(gè)點(diǎn)，反之然，∴中的有序數(shù)對(duì)與直角平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，它們的本質(zhì)是一樣的，可以不加區(qū)別，所以：可以把看成直角坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面也可以看成是二維空間，以后把叫點(diǎn)的坐標(biāo)，而把看成是平面全體點(diǎn)的集合.平面上兩點(diǎn)的距離（由解析幾何知：）：設(shè)中的兩點(diǎn)　，則稱叫P1與P2兩點(diǎn)間的距離.有叫三角不等式.請(qǐng)同學(xué)們回憶：數(shù)軸上鄰域的概念（一維空間的領(lǐng)域）：定義2：設(shè)，以點(diǎn)為中心，為半徑的全體點(diǎn)組成的集合：叫以點(diǎn)為中心，為半徑的圓形領(lǐng)域記為：即從幾何上看：圓形領(lǐng)域就是平面上的一個(gè)開(kāi)圓：討論：集合表示一個(gè)什么圖形？以為中心，為邊長(zhǎng)的開(kāi)矩形的全體點(diǎn)組成的集合叫以為中心的半徑的方形鄰域.∵圓中有方，方中有圓，∴方形領(lǐng)域與圓形領(lǐng)域是等價(jià)的.∴以后在證明題目時(shí)，可以取圓形領(lǐng)域，也可以取方形領(lǐng)域，都一樣.把圓形領(lǐng)域和方形領(lǐng)域統(tǒng)稱為為心，為半徑的領(lǐng)域，記為.去掉鄰域中心后的集合叫去心領(lǐng)域，記為.討論：去心領(lǐng)域怎樣表示：圓形去心領(lǐng)域，方形去心領(lǐng)域：當(dāng)不需指出半徑時(shí)，領(lǐng)域可簡(jiǎn)寫(xiě)為有了領(lǐng)域的概念后，就可以定義兩個(gè)特殊的概念：開(kāi)區(qū)域和閉區(qū)域。定義3：設(shè)是平面點(diǎn)集，是平面上一點(diǎn)。1）若，有，則稱是的內(nèi)點(diǎn)。2）若，內(nèi)既含有中的點(diǎn)，同時(shí)又含有不屬于的點(diǎn)，則稱是的界點(diǎn)，并把全體界點(diǎn)組成的集合叫點(diǎn)集的邊界.1）討論：的內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的區(qū)別在哪里？?jī)?nèi)點(diǎn)是，存在一個(gè)正數(shù)，使以為中心為半徑的領(lǐng)域完全包含在中，若有中的點(diǎn)同時(shí)也有不屬于的點(diǎn)就是界點(diǎn)討論：下面點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)還是界點(diǎn)，為什么？2）的界點(diǎn)有多少個(gè)？都屬于嗎？的邊界是否屬于？（）（2）（1）3）若，領(lǐng)域內(nèi)含有的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，則稱點(diǎn)叫的聚點(diǎn)，（討論如上圖，內(nèi)點(diǎn)是不是聚點(diǎn)？界點(diǎn)呢？（不一定！）聚點(diǎn)是否一定屬于？）4）若，使，則稱是有界點(diǎn)集，否則叫無(wú)界點(diǎn)集。討論：下面點(diǎn)集是有界點(diǎn)集還不是無(wú)界點(diǎn)集？1）＝2）第一象限：＝3）＝定義：設(shè)是平面點(diǎn)集：（開(kāi)、閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域）1）若的任意點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，且的任意兩點(diǎn)都能用屬于的折線連接起來(lái)（稱的連通性）則稱是開(kāi)區(qū)域。（如上圖）2）由開(kāi)區(qū)域和它的邊界構(gòu)成的區(qū)域G的閉區(qū)域。討論：下列點(diǎn)集是不是開(kāi)或閉區(qū)域。并指出它的有界性和內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)和界點(diǎn)。1）＝（開(kāi)區(qū)域，有界…）2）＝3）＝4）＝（閉區(qū)域，無(wú)界）5）＝（不是區(qū)域（—？沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)；只有界點(diǎn)集）6）＝（∵是區(qū)域的邊是，∵表示拋物線下方全體點(diǎn)組成的點(diǎn)集，不含邊界）有界區(qū)域的直徑：設(shè)是有界區(qū)域，把叫有界區(qū)域的直徑，記為：：.討論：下列點(diǎn)集的直徑（）＝？1）＝ 2）長(zhǎng)方形：＝3） 是無(wú)界區(qū)域（沒(méi)有直徑）　　4）,.注：上面的定義及定理（概念）可以推擴(kuò)到n維空間上去.例：描繪下列點(diǎn)集，并指出開(kāi)、閉性，有界性，聚點(diǎn)、界點(diǎn)及邊界。2）＝3）＝1）＝解：1）是二維空間的點(diǎn)集，∵，∴點(diǎn)集的邊界是（是無(wú)界閉區(qū)域）2）是二維空間的點(diǎn)集，邊界是曲面，∴是橢球內(nèi)部的點(diǎn)，不含托球面上的點(diǎn)，是有界開(kāi)區(qū)域.3）是的點(diǎn)集，邊界是三個(gè)坐標(biāo)面及平面，∴是這四個(gè)面圍成的四面體的全體點(diǎn)，是有界閉區(qū)域。作業(yè)Ｐ152　　5二 多元函數(shù)1. 二元函數(shù)定義：設(shè)是二維空間的非空子集，若，按某一對(duì)應(yīng)法則，都唯一的對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱對(duì)應(yīng)法則是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)記為。把叫的定義域，全體函數(shù)值組成立集合：叫函數(shù)的值域。例如：是定義在閉圓的一個(gè)二元函數(shù)。2. 二元函數(shù)的圖像設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然是是平面上的一個(gè)點(diǎn)集。，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值，于是就確定了中的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)在中變化時(shí)，就得到了中的若干個(gè)點(diǎn)，把這些點(diǎn)組成的集合叫函數(shù)的圖象。一般地二元函數(shù)的圖象是中的一塊曲面。例：判別下列函數(shù)的圖象是什么圖形1）（∵）閉圓上的上半球。2）， ，∴是在三個(gè)軸上截距為的一個(gè)平面。當(dāng)自變量是三個(gè)時(shí)，叫三元函數(shù)，…是個(gè)時(shí)叫元函數(shù)（見(jiàn)P144定義），. 把二元和二元以上的函數(shù)叫多元函數(shù)。為什么要把函數(shù)分為一元和多元呢？因?yàn)橐辉瘮?shù)過(guò)渡到二元函數(shù)時(shí)，有些性質(zhì)要發(fā)生變化，但從二元過(guò)渡到三、…多元函數(shù)時(shí)，性質(zhì)就完全一樣了.我們知道二元函數(shù)的定義域是中的一個(gè)點(diǎn)集，其圖象是的一塊曲面（一般情況下）三元函數(shù)的的定義域是的一個(gè)一個(gè)立體，而函數(shù)的圖象是的一個(gè)點(diǎn)集，沒(méi)有同和何模型.例：求下列多元函數(shù)的定義域，并指出定義域所表示的圖形，1）　　2） 3）解：1）定義域是上以為邊界（不包含邊界）的半平面2）∵　　∴　∴是上以為中心1與2為半徑的閉圓環(huán)。3）∵＝是上以球面為邊界的開(kāi)球體。例：已知求作業(yè)：Ｐ143　　9, 10, 11, 123. 二元函數(shù)的極限在一元函數(shù)中，是指當(dāng)在X軸上，從的兩側(cè)以任意方式趨于時(shí)，都超于，用“”語(yǔ)言來(lái)描述。那么二元函數(shù)的極限又怎樣呢？設(shè)Ｐ是的定義域D的一個(gè)聚點(diǎn)。A是一個(gè)常數(shù)。∵二元函數(shù)的自變量的變化范圍不再只是軸上的一個(gè)區(qū)間，：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以任意路徑和任何方式→(其趨于的路線可以是直線，拋物線或任意曲線)都有：，這時(shí)把A叫二元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限記為，又∵，∴上面的極限又可改寫(xiě)成：上面根據(jù)只是一種形象的描述，下面定出嚴(yán)格中的“”定義。（1）二重極限定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域的有定義，是的聚點(diǎn)，是常數(shù).若，則稱函數(shù)在點(diǎn)二重極限是.因?yàn)椋骸嗌厦娑x又可寫(xiě)成：定義：設(shè)定義在點(diǎn)集上，是D的聚點(diǎn)，是常數(shù).若則稱函數(shù)在存在極限A，記為.1）解釋定義的義意：，當(dāng)點(diǎn)一旦入進(jìn)了以為心的的去心鄰域，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值與A的著的絕對(duì)值就小于.2）上面定義可寫(xiě)為：例：用“”定義證明：1）　　1）分析：用定義證明二元函數(shù)的極限的方法與一元函數(shù)完全一定：解出一個(gè)含與的不等式，通過(guò)觀察可找出.證明：1）∵（∵本題領(lǐng)域是，∴要想辦法在絕對(duì)值中找出）∴，∴就有。2）分析：∵（∵要通過(guò)不等式向右方放大，消去，這須把點(diǎn)限制在的某一個(gè)鄰域里找出它們的界即可. （把限制在以點(diǎn)的“”領(lǐng)域中），證明：取，限制：，要使成立，只要取即可.討論1：限制的目的是什么？半徑不取，可不可？例：證明：函數(shù)，在原點(diǎn)（0,0）的極限是0.討論：函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）有沒(méi)有定義。（沒(méi)有?。┳C明：0,（分兩種情況討論。—？∵當(dāng)進(jìn)入以（0,0）為心的領(lǐng)域時(shí)，函數(shù)值有兩種情況）；1）當(dāng)時(shí)，顯然都2）當(dāng) ， 綜上所述：從本題看到在（0,0）無(wú)定義，但存在極限，∴函數(shù)在點(diǎn)P0的極限與在點(diǎn)P是否有定義無(wú)關(guān)。討論2：當(dāng)沿一條固定的路徑，趨于：時(shí)，能不能說(shuō)在存在極限？（不能）。例：證明在原點(diǎn)（0,0）不存在極限分析：∵極限定義的意思是：不管點(diǎn)以什么方式和什么路徑超時(shí)于時(shí)，都有，因此要證在不存在極限，只須證明，當(dāng)沿兩條不同的路徑超于時(shí)，超于不同的兩個(gè)數(shù)；或沿某一條路徑不存在極限不存在即可。（∴可通過(guò)觀察取兩條特殊路徑證之）.證明：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿直線趨于點(diǎn)時(shí)有： 。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物線趨于（0,0）時(shí)。∴在點(diǎn)（0,0）不存在極限。課堂作業(yè)：證明：在（0,0）不存極限。取路徑：1）；2）作業(yè)：P155　　　1, 3, 4前面我們講了時(shí)的極限概念，下面對(duì)這個(gè)概念加以擴(kuò)展，在一元函數(shù)有：，類似的定義：1）：2）：3）：上面我們講的二元函數(shù)的二重極限在本質(zhì)上是：是兩個(gè)互不相關(guān)的，互相獨(dú)立的變量，當(dāng)它們以獨(dú)立的，任意方式同時(shí)，時(shí)，都有，就稱A是在點(diǎn)的二元函數(shù)的二重極限（即：極限）.二重極限的性質(zhì)和有關(guān)定理與一元函數(shù)的極限相似，略：下面講一種新的極限：二次累次極限（2） 二次累次極限：（1）若當(dāng)時(shí)（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限，設(shè)，且當(dāng)時(shí)，存在極限：，則稱B叫在點(diǎn)先后的二次累次極限：，（1）若當(dāng)時(shí)（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限，設(shè)，且當(dāng)時(shí)，存在極限：，則稱叫在點(diǎn)先后的二次累次極限：，注：一般情況下不一定等于C.實(shí)際上二次累次極限就是兩次求一次元函數(shù)的極限，∴只須用求一元函數(shù)的極限方面的知識(shí)就能求二次累次極限。例：求因?yàn)槎貥O限和二次累次極限是兩個(gè)完全不同的概念，∴它們沒(méi)有必然的聯(lián)系。注：1. 因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限：實(shí)上是對(duì)的一元函數(shù)不同順序的極限，所以兩個(gè)累次極限可能不同，甚至一個(gè)存在另一個(gè)不存在；例如：不