【正文】 的二階偏導(dǎo)數(shù)。又設(shè)點(diǎn)（0,0）沿任意射線的方向余弦是，在上任取一點(diǎn)0+,0+，所以，存在.作業(yè)：P177,6　　　P188： 13, 14167。 ∴有 ∴存在.討論：我們用表示射線在點(diǎn)關(guān)于射線反向的方向?qū)?shù)，那么，是否存在，如果存在（存在，∵與的方向余弦只是一個頁號，∴）討論：用分別表示在點(diǎn)軸正方和負(fù)向的方向?qū)?shù)，則：在存在偏導(dǎo)數(shù)的充要條件：最后我們指出Th的條件只是充分的，而不是必要的：即：若在點(diǎn)不可微，則在沿任意線射的方向?qū)?shù)可能存在.例：證明：函數(shù)在點(diǎn)（0,0）不可微，但沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在.證明（欲證在（0,0）不可微，只須證明在（0,0）不存在兩個偏導(dǎo)數(shù)）∵，當(dāng)時，不存在，∴在（0,0）不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，同理也不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。下面以三元函數(shù)為例介紹方向?qū)?shù)存在的條件。同樣：三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系是：分別表示函數(shù)沿平行軸方向的方向?qū)?shù)；而在沿任意方向的方向?qū)?shù)實際上是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。討論2：偏導(dǎo)數(shù)是不是方向?qū)?shù)？偏導(dǎo)數(shù)實際上是特殊的方向?qū)?shù)，當(dāng)，偏導(dǎo)數(shù)（）就是在點(diǎn)沿軸平行的方向（兩個方向）的方向?qū)?shù)，（注方向?qū)?shù)只沿一個方向：射線的方向）反之，方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。定義1在以為頂點(diǎn)的射線上任取設(shè)，若極限存在，則稱此極限是函數(shù)在P0點(diǎn)沿射線的方向?qū)?shù)，記為或。但在物理、化學(xué)或其它斜研中，常常要研究函數(shù)在P0點(diǎn)沿任意方向的瞬時變化率，這就是我們下面要介紹的方向?qū)?shù)的概念?！鄬嶋H上表示二元函數(shù)在沿平行于軸（兩個）方向的平均變化率，而偏導(dǎo)數(shù)則表示函數(shù)在點(diǎn)沿平行于軸兩個方向瞬時變化率，它的幾何意義，則表示交線，在點(diǎn)，的切線斜率。那么，這個瞬時變化率：的物理意義是什么呢？設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，（表路程，表時間），則表示質(zhì)點(diǎn)在時刻的瞬速率，瞬時速率不是瞬速度，∵速度有方向，當(dāng)時，把叫函數(shù)沿軸正向的變化率……，而在則表示質(zhì)點(diǎn)沿軸正、負(fù)向的速度.而函數(shù)的瞬時變化率的幾何意是什么呢？它表示曲線在點(diǎn)的切線的斜率為：。于是由復(fù)合涵數(shù)的微分法：＝＝.作業(yè)P174，2 (1) (3) (6) (7) (8)（用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）；112五、方向?qū)?shù)在研究方向?qū)?shù)以前，先來看一看一元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的義意：在一元函數(shù)中我們把函數(shù)的改變量與自變量在的改變量之比：叫函數(shù)在的平均變化率，而把叫函數(shù)在的瞬時變化率，也叫在的導(dǎo)數(shù)。推論：若二元函數(shù)在點(diǎn)可微，在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，則； .例. 已知，而，求.解：+課堂作業(yè)：求下列偏導(dǎo)數(shù)： 其中，計算，求，求 分析：這里，是自變量，若直接計算是比較困難的，為了簡化計算，可考慮復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，這就要引進(jìn)適當(dāng)?shù)闹虚g變量。，求注意：在函數(shù)中，本身含有自變量，這時，我們可以即把復(fù)合函數(shù)中含的自變量看成中間變量，這時該自變量相對于其它自變量而言是常數(shù)。例：設(shè)，其中，計算解：，而， 熟悉以后可以直接計算：討論：本題可不可以用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：∵ ∴當(dāng)然對于一般情況而言，用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在計算上是很麻煩的。解：， ∴， ∴切平面的法向量，∴切平面：法線： 又∵△， ∴， .作業(yè)：P188：12， 15， 165. 復(fù)合函數(shù)的微分法下面我們來講多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的微分法：定理：若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)（可微）而，可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在地可導(dǎo)，且。叫矢量的方向角。注：的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)，連續(xù)僅是在可微的充分而非必要的條件.例：設(shè)=，則函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)不連續(xù)，但在可微.分析：首先計算偏導(dǎo)數(shù).證：當(dāng)時，當(dāng)時，因為：=∴同理（下面證明導(dǎo)函數(shù)在不連續(xù)）∵取軸，當(dāng)動點(diǎn)P軸超于時，∴在（0,0）不存在二重極限，∴在原點(diǎn)不連續(xù).（下面證明在點(diǎn)（0，0）可微，只須證明：）因為：，所以： （注：）∴.例：計算出數(shù)在點(diǎn)，并計算：的近似值.解：∵，∴ ∴∴函數(shù)在點(diǎn)（2,01，1，03）的全微分+=上面全微分的概念也可以推廣到多元函數(shù)上去：在點(diǎn)的全微分：例：計算=的全微分。則，不是的高階無窮小，∴。由上面定理得：，當(dāng)在區(qū)域的任一點(diǎn)都可微時，稱在區(qū)域可微，且.這里我們要指出：在一元函數(shù)中，在一點(diǎn)可微在可導(dǎo)，但在二元（或多元）函數(shù)中：可微在存在兩個偏導(dǎo)數(shù)（即：；但存在兩個偏導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)）在可微。討論：上面定理實際上告訴我們在可微的必要條件是什么？證明：∵在點(diǎn)存在全微分。則稱二元函數(shù)在點(diǎn)可微，且把線性主部叫函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為注：全微分的定義必須滿足兩條：1）的線性（一次）函數(shù)（即A、B與無關(guān)的常數(shù)）。例：證明，在存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，但在原點(diǎn)不連續(xù).證明：同理（要證在不連續(xù)，只須證明：不存在極限）當(dāng)以趨于時，當(dāng)以趨于時，∴，所以連續(xù).作業(yè)：P176 2全微分定義：在一元函數(shù)時我們曾經(jīng)定義了函數(shù)在一點(diǎn)的微分的概念：若函數(shù)在點(diǎn)的改變量能表成：（即表成的一個線性函數(shù)與高階無窮小的和）就稱在可微，并把就微分，后面我們進(jìn)一步推出：。在一元函數(shù)中，若在可導(dǎo)，則在連續(xù)，即在連續(xù)是在可微的必要條件。課堂作業(yè)，計算 求導(dǎo)，解：令，則，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在一元函數(shù)中，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在的切線的斜率。解：當(dāng)，（是一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，可以直接求偏導(dǎo)）當(dāng)（,）=（0，0）時（是求節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，只能根據(jù)定義求）∴，例：設(shè) .分析：在求時，看成常數(shù)，對求導(dǎo).解： 例：設(shè)，求分析：函數(shù)是與=的復(fù)合函數(shù)，∴由復(fù)合了函數(shù)的求導(dǎo)法則：（也可以兩邊先取對數(shù)再求導(dǎo)）。：若函數(shù)在點(diǎn)的關(guān)于的偏改變量與之比的極限：存在，則稱此極限叫在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記為（）. 同理稱：，叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為例：已知： ， 求解：∵當(dāng)為區(qū)域的任意點(diǎn)時：二元函數(shù)在任意點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為：（叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)）（叫在關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)）它們?nèi)匀皇顷P(guān)于、的二元函數(shù)，∴又簡稱偏導(dǎo)函數(shù)。 多元函數(shù)的微分法在講多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前，首先來回憶一下導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)在有定義：若把一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)上去，就是下面要講的偏導(dǎo)數(shù)的概念：偏改變量：設(shè)二元函數(shù)定義在區(qū)域，是的內(nèi)點(diǎn)，將看作常數(shù)，給一個改變量，于是就得到的另一個內(nèi)點(diǎn)（），把這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差：叫在點(diǎn)關(guān)于x的偏改變量。10。 6。當(dāng)動點(diǎn)沿軸x=c趨于（0,0）時，當(dāng)沿x軸y=0趨于（0,0）時。證明：；要使只須?。ㄗⅲ翰坏仁街胁缓硎緦θ我?，時，都能保證）證明：，取都有..討論：能源能說在（0，0）的二重極限是？（不能，∵二重極限的動點(diǎn)必須是鄰域：，的全體點(diǎn)，但上題中的P不能取M域的全體點(diǎn)，而只能?。?。正確做法：令，則原式==2（）=2（）注：令，則.若將函數(shù)限制在區(qū)域={(x,y)||y|x2}，例函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）存在極限（關(guān)于）。例：求下列極限：1） 2） （令，則） 3）4）上面二元函數(shù)的定義和性質(zhì)可以推廣到元函數(shù)上去.作業(yè)：（參考）5；作業(yè)評講：下面做法是否正確，為什么？（是否正確關(guān)鍵是判別是否存在）上面做法不正確。（裂縫）例：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其圖形1） 2）解：1）由得。定義：若在不連續(xù)，則稱是的間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。請同學(xué)們自學(xué) Th3—Th8下面介紹一個間斷點(diǎn)的概念：請大家想一想在點(diǎn)連續(xù)應(yīng)滿足幾個條件：1）在有定義；2）存在極限；3）在的極限值等于其函數(shù)值。（P150）3）Th4（保號性）4）若二元函數(shù)關(guān)于或的一元是初等函數(shù)，則稱是二元初等函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（150）1）若在點(diǎn)都連續(xù)，則；，（）在點(diǎn)也連續(xù)，稱為連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算。注：1. 因為兩個累次極限：實上是對的一元函數(shù)不同順序的極限，所以兩個累次極限可能不同，甚至一個存在另一個不存在；例如：不存在（存在，時不存在）；. 二重極限存在，但累次極限可能不存在；或兩個累次極限存在相等，但二重極限可能不存在：例如：，在原點(diǎn)（0,0）兩個累次極限存在且相等，但二重極限不存在；例. 證明：函數(shù)在（0,0）二重極限存在，但累次極限不存在.證明：∵顯然，累次極限的計算要比二垂極限簡單得多，所以我們希望通過累次極限來計算二重極限，那么在什么條件下它們相等嗎？4. 定理：若二元函數(shù)的二重極限和累次極限（都存在，則：推論：（充分條件）：若下面三個極限都存在：，則兩個累次極限存在且相等；等于其二垂極限：例：已知：存在點(diǎn)（0,0）存在二重極限，求；作業(yè)：P156　　　74. 二