【文章內(nèi)容簡介】 在的切平面，且切平面的法向量是：.而這個法向量正好是法線的方向矢量，所以法線方程：注：（由必要性知：）函數(shù)在點可微的幾何意義是：由面S：z=存在切平面，且切平面的法向量是：.這就為我們認識全微分提供了一個很好的幾何模型.例如錐面在頂點不存在切平面，∴函數(shù)點（0,0,0）不可微.注：在解析幾何中知道：空間矢量與三個坐標軸正向夾角。叫矢量的方向角。而方向角的余弦叫矢量的方向余弦.矢量的方向余弦也叫空間直線的方向余弦.由解析幾何知道：若，則 .例：求曲面在點M（2 1 4），的切平面、法線和法線的方向余弦。解：， ∴， ∴切平面的法向量，∴切平面：法線： 又∵△， ∴， .作業(yè)：P188：12， 15， 165. 復(fù)合函數(shù)的微分法下面我們來講多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的微分法：定理：若二元函數(shù)在點的鄰域存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)（可微）而，可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在地可導(dǎo)，且。定理的意思是：函數(shù)與所復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)：的導(dǎo)數(shù)為：z對第一個中間變量的偏導(dǎo)乘以第一個中間變量對的導(dǎo)數(shù)，加上對第二個中間變量的偏導(dǎo)乘以第二個中間變量對t的導(dǎo)數(shù)。例：設(shè)，其中，計算解：，而， 熟悉以后可以直接計算：討論：本題可不可以用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：∵ ∴當然對于一般情況而言，用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在計算上是很麻煩的。課堂作業(yè)：計算下列導(dǎo)數(shù)，（。，求注意：在函數(shù)中，本身含有自變量，這時，我們可以即把復(fù)合函數(shù)中含的自變量看成中間變量，這時該自變量相對于其它自變量而言是常數(shù)。即：復(fù)合函數(shù)是由函數(shù)是由及中間變量，復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：）解：以后可以直接寫成：上面定理實際上解決了復(fù)合函數(shù)是一元函數(shù)的求導(dǎo)問題，那么當復(fù)合函數(shù)不是一元函數(shù)而是二元函數(shù)時怎么辦呢？例如：由，而，求。推論：若二元函數(shù)在點可微，在點存在偏導(dǎo)數(shù)，則； .例. 已知，而，求.解：+課堂作業(yè)：求下列偏導(dǎo)數(shù)： 其中，計算，求，求 分析：這里，是自變量，若直接計算是比較困難的，為了簡化計算，可考慮復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，這就要引進適當?shù)闹虚g變量。解：令，則是由，注：若函數(shù)的解析式中含有中間變量，同時還含有自變量時，要把解析式中的自變量也看成中間變量，而應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若在點（），而在點存在偏導(dǎo)數(shù)，則：例. 設(shè)　求：解：令　　則函數(shù)由復(fù)合而成.∴＝＝（注上面求偏導(dǎo)數(shù)時，首先要搞清楚自變量是那兩個量，∵這兩個自變量是獨立的，即：對求導(dǎo)把看成常數(shù)?。┱n堂作業(yè)：討論怎用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，計算下面偏導(dǎo)：?。?） （2）（∵，是自變量，∴令）則. (∵當變化時，t不變，∴相對于而言是常數(shù)) 則：當中間變量的個數(shù)多于2時，并且滿足定理的條件，其結(jié)果類似：設(shè)在點可微，而在都存在偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)：在也存在關(guān)于s,t的偏導(dǎo),且：討論：如果中間音量有四個、五個等時，偏導(dǎo)數(shù)怎樣求例：設(shè)， ，，求解：（對那個字母求導(dǎo)，就把這字母看成變量，其它字母看成常量）例：設(shè)解：令可看成是復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)）∴課作業(yè)：已知：求解：令，∴課作業(yè)：已知：求解：令，∴例：設(shè)其中，計算.分析：此題的函數(shù)與上面例子不同，∵函數(shù)本身含有自變量，同時還含有中間變量，這時我們可以把數(shù)函中的自變量看成是中間變量，于是函數(shù)可看成是由中間變量，復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)：。于是由復(fù)合涵數(shù)的微分法：＝＝.作業(yè)P174，2 (1) (3) (6) (7) (8)（用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）；112五、方向?qū)?shù)在研究方向?qū)?shù)以前，先來看一看一元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的義意：在一元函數(shù)中我們把函數(shù)的改變量與自變量在的改變量之比：叫函數(shù)在的平均變化率，而把叫函數(shù)在的瞬時變化率，也叫在的導(dǎo)數(shù)。∴在的導(dǎo)數(shù)實際上就是函數(shù)的瞬時變化率。那么，這個瞬時變化率：的物理意義是什么呢？設(shè)表示質(zhì)點的運動方程，（表路程，表時間），則表示質(zhì)點在時刻的瞬速率，瞬時速率不是瞬速度，∵速度有方向，當時，把叫函數(shù)沿軸正向的變化率……，而在則表示質(zhì)點沿軸正、負向的速度.而函數(shù)的瞬時變化率的幾何意是什么呢？它表示曲線在點的切線的斜率為：。在二元（或多元）函數(shù)中，的偏導(dǎo)數(shù)的義意：∵實際上表示函數(shù)沿著軸（兩個）方向的改變量，（∵動點P是從P0點出收沿軸方向變動的）?！鄬嶋H上表示二元函數(shù)在沿平行于軸（兩個）方向的平均變化率，而偏導(dǎo)數(shù)則表示函數(shù)在點沿平行于軸兩個方向瞬時變化率，它的幾何意義，則表示交線，在點，的切線斜率。同樣，表示函數(shù)在P0點沿y軸方向的瞬時變化率，幾何義意是交線在點的切線斜率。但在物理、化學(xué)或其它斜研中，常常要研究函數(shù)在P0點沿任意方向的瞬時變化率，這就是我們下面要介紹的方向?qū)?shù)的概念。方向?qū)?shù)：設(shè)射線的頂點為，給任一個改變量得到上任一點，用，則： （其中是射線的方向角）∴。定義1在以為頂點的射線上任取設(shè)，若極限存在，則稱此極限是函數(shù)在P0點沿射線的方向?qū)?shù)，記為或。即：/討論：方向?qū)?shù)，是不是沿射線方向的瞬時變化率？（∵）相當于自變量的改變量，∴在沿射線方向的方向?qū)?shù)就是在點沿方向的瞬時變化率。討論2：偏導(dǎo)數(shù)是不是方向?qū)?shù)？偏導(dǎo)數(shù)實際上是特殊的方向?qū)?shù)，當，偏導(dǎo)數(shù)（）就是在點沿軸平行的方向（兩個方向）的方向?qū)?shù)，（注方向?qū)?shù)只沿一個方向：射線的方向）反之，方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。我們還可以把方向?qū)?shù)（二元函數(shù)）推廣到三元乃致多元函數(shù)上去：定義2，設(shè)是空間射線λ的頂點，在λ上任取一點，設(shè)，若極限：存在，則稱此極限值叫函數(shù)在P0點設(shè)沿射線的方向?qū)?shù)，記為或，即：。同樣：三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系是：分別表示函數(shù)沿平行軸方向的方向?qū)?shù)；而在沿任意方向的方向?qū)?shù)實際上是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。注：方向?qū)?shù)實質(zhì)上是函數(shù)在點P0關(guān)于任意方向的改變量：與之比的極限： （其中：）這概念還可以推廣到多元函數(shù)上去介紹了方向?qū)?shù)的概念后，下面我們來研究一下方向?qū)?shù)存在的條件。下面以三元函數(shù)為例介紹方向?qū)?shù)存在的條件。Th5，若函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在，且.（其中：是射線的方向余弦.）注：Th5告訴我們在點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在的充分條件是：在可微，而且進一步指出了方向?qū)?shù)可由偏導(dǎo)數(shù)表示出來：證明：（分析：由在可微能得出什么結(jié)論：在點的全改變量）=，那么怎樣由此等式→結(jié)論：，將等兩邊同除證明：∵在可微，∴全改變量。 ∴有 ∴存在.討論：我們用表示射線在點關(guān)于射線反向的方向?qū)?shù)，那么，是否存在，如果存在（存在，∵與的方向余弦只是一個頁號，∴）討論：用分別表示在點軸正方和負向的方向?qū)?shù)，則：在存在偏導(dǎo)數(shù)的充要條件：最后我們指出Th的條件只是充分的，而不是必要的：即：若在點不可微，則在沿任意線射的方向?qū)?shù)可能存在.例：證明：函數(shù)在點（0,0）不可微，但沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在.證明（欲證在（0,0）不可微，只須證明在（0,0）不存在兩個偏導(dǎo)數(shù)）∵，當時，不存在，∴在（0,0）不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，同理也不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。∴在（0,0）不可微。又設(shè)點（0,0）沿任意射線的方向余弦是，在上任取一點0+,0+，所以，存在.作業(yè)：P177,6　　　P188： 13, 14167。 二元函數(shù)的泰勒公式一、高階偏導(dǎo)數(shù)：前面我們看到二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)仍是二元函數(shù)，例如. 于是我們又可對偏導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)。把對的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為或,即：，同樣有：f″xy(x1y)()討論：或；或表什么意思？把函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的四個偏導(dǎo)數(shù)，f″yx(x1y)，叫函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。（其中fxy與fyx叫混……）。討論1：怎樣寫出函數(shù)在點的二階偏導(dǎo)數(shù)的定義？ …討論2：二階混合偏導(dǎo)數(shù)f″xy與f″yx是對自度量x、y的不同順序的求偏導(dǎo)，它們是否根等呢？（看下列例子）例：已知f(x1y)= 證明.證明：∵，當時, =同理:′= . 于是：兩個混合偏導(dǎo)數(shù)是關(guān)于不同順序的求偏導(dǎo)，它們不一定相等。那么兩個混合偏導(dǎo)在什么條件下才相等呢？定理：若二元出函在區(qū)域D存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且它們在點連續(xù)，則此定理告訴我們二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下就相等。因二階偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，∴求二階偏導(dǎo)數(shù)時，只須對一階偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)就可以了。例：的二階偏導(dǎo)數(shù)解：，課堂作業(yè)，求二階偏導(dǎo)數(shù)：（1） (按課堂作業(yè)（2），見后面)：.2. 設(shè).解：令，則，所以。課堂作業(yè)：求（）課堂作業(yè)：例. 設(shè)令：，則：，例一，證明：若，則：分析：實際上是證明 是偏微方程的解。這只須把三個二階導(dǎo)數(shù)求出即可。證明：P168例2