不等式的積分法微分法(編輯修改稿)
2025-08-22 09:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 少存在一點，使得.例11 若 ，試證證明 設(shè) 因為 在上滿足拉格朗日定理所以 又因為 所以從而即 例12 設(shè) ，證明不等式 證明 先證左邊的不等式，設(shè) 根據(jù)拉格朗日中值定理得[5] 因為 ,又所以再證右邊的不等式，設(shè)則 ，且于是 所以單調(diào)遞增故當時 特別地，令 則有 即所以原不等式成立.例13 設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù)，且證明：當時，證明 因為 故函數(shù)單調(diào)增加所以當時，即又在上滿足柯西中值定理條件故由柯西中值定理知從而故原不等式成立[6].例14 設(shè)，證明 證明 設(shè)函數(shù)則在上由柯西中值定理有設(shè)，考察當時，從而，說明在時單調(diào)遞減，所以即，故總結(jié):利用微分中值定理證明不等式時, 要抓住定理的核心, 在滿足定理的兩個條件的情況下, 主要是利用“ 存在一點”即 來確定不等式關(guān)系, 關(guān)鍵是根據(jù)對照要證的不等式來確定函數(shù)和區(qū)間,根據(jù)要證明結(jié)論的需要,對進行適當?shù)姆趴s[7]。 函數(shù)極值與最值法 定理 設(shè)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則若，則在處取極大值；若，則在處取極小值。例15 當，證明.證明 設(shè) 令 得，故函數(shù)在處取得極大值即故不等式成立. 例16 證明：時，證明 設(shè)，則令 得 令，則 故當 有 例17 證明不等式 證明 設(shè)
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