不等式的積分法微分法(編輯修改稿)
2025-08-22 09:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 少存在一點(diǎn)，使得.例11 若 ，試證證明 設(shè) 因?yàn)? 在上滿足拉格朗日定理所以 又因?yàn)? 所以從而即 例12 設(shè) ，證明不等式 證明 先證左邊的不等式，設(shè) 根據(jù)拉格朗日中值定理得[5] 因?yàn)?,又所以再證右邊的不等式，設(shè)則 ，且于是 所以單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí) 特別地，令 則有 即所以原不等式成立.例13 設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù)，且證明：當(dāng)時(shí)，證明 因?yàn)? 故函數(shù)單調(diào)增加所以當(dāng)時(shí)，即又在上滿足柯西中值定理?xiàng)l件故由柯西中值定理知從而故原不等式成立[6].例14 設(shè)，證明 證明 設(shè)函數(shù)則在上由柯西中值定理有設(shè)，考察當(dāng)時(shí)，從而，說(shuō)明在時(shí)單調(diào)遞減，所以即，故總結(jié):利用微分中值定理證明不等式時(shí), 要抓住定理的核心, 在滿足定理的兩個(gè)條件的情況下, 主要是利用“ 存在一點(diǎn)”即 來(lái)確定不等式關(guān)系, 關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)照要證的不等式來(lái)確定函數(shù)和區(qū)間,根據(jù)要證明結(jié)論的需要,對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s[7]。 函數(shù)極值與最值法 定理 設(shè)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則若，則在處取極大值；若，則在處取極小值。例15 當(dāng)，證明.證明 設(shè) 令 得，故函數(shù)在處取得極大值即故不等式成立. 例16 證明：時(shí)，證明 設(shè)，則令 得 令，則 故當(dāng) 有 例17 證明不等式 證明 設(shè)
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