【正文】 若為嚴(yán)格凸函數(shù)，不全相等，則上式嚴(yán)格不等式成立[8]。 二重積分性質(zhì)法例6 設(shè)均為上的單調(diào)不減連續(xù)函數(shù)證明證明 由于同為單調(diào)不減函數(shù)令 總有 由二重積分的保序性有 即 于是 不等式證明的微分法是利用微分學(xué)的一些知識來證明不等式，主要有以下幾個方面：一是應(yīng)用中值定理或泰勒公式。有時需要使用該符號的高階導(dǎo)數(shù)來確定的符號[4]。 Differentiation。定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)如果對任意的,恒有（或），則在內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。 三是考察函數(shù)的凹凸性。 Taylor公式法泰勒定理 若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得 例19 若在內(nèi)，則對任意幾個點，有不等式成立.證明 將在展開有介于與之間，因為 所以 （1）對（1）式中分別取 得 將上面?zhèn)€不等式兩邊分別相加可以得到下面的式子 所以 即 例20 設(shè)有二階導(dǎo)函數(shù)，且滿足，求證. 證明 由泰勒公式可知所以從而有故時 .總結(jié)：泰勒公式是用一個多項式來逼近函數(shù)，而此多項式具有形式簡單，易于計算等優(yōu)點。當(dāng)題設(shè)滿足下列條件時，（1）所設(shè)輔助函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)；（2）證明的只能是復(fù)合不等式，不能是純粹不等式。 定積的概念例1 設(shè)在連續(xù)，證明證明 將區(qū)間進行等分，取因為 兩邊取對數(shù)得兩邊在時取極限得 積分中值定理法積分中值定理 如果函數(shù)在上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點，使得例2 試證當(dāng)時，.證明 因為令 由積分中值定理有 即 因為 所以 . 原函數(shù)法例3 設(shè)在上連續(xù)，取正值且單調(diào)減少，證明 因